椭圆函数

椭圆积分的主要形式是被积函数的分子为根号下三次或者四次多项式。由此可以回想起有理函数积分的一般结果，对于多项式构成的分式，其积分属于有理函数积分，通过分解后可以通过一些基本形式的积分获得整体的不定积分。
对于根号下一次二次的多项式，则可以通过三角函数变换实现计算，从这个角度看的话，椭圆积分是根式函数积分的进一步探索，也就是比较整齐的无理函数积分。自然的考虑根号下高于四次多项式的积分，这就是超椭圆积分。
其实，到了这里就很奇怪，毕竟现代数学中的显学代数几何似乎也是在研究这个问题，高次多项式函数的根，或者解析函数的根，这就将百年前的内容与现在的内容联系起来了。而且呈现着极大的不对称性，抽象代数学的简洁与抽象和古典积分理论的繁琐与简单，这大概也是数学之美关注的地方。
二元对立性质，这种奇异的对立统一性质在物理，数学中都有体现。而且呈现为可感知的模式，是非常奇异的事情。
回到椭圆积分，双周期性是通过复平面展开的，形成周期平行四边形，这种四边形重复出现，就构成了整体的图案。所以主要的内容还是在四边形内，对于这样的比较简单的有理函数，通过零极点性质就可以获得各种形式的级数展开，这里可以提一句解析函数唯一性定理，周期性其实就给出了离散的可数个限制条件，所以也会确定出唯一的函数。复分析是非常完美的分析，在有理函数，解析函数方面的结果非常漂亮。这些漂亮的结果就是依托于级数展开，围道积分，留数定理，零极点性质体现出来的。从这个角度看的话，椭圆函数并不困难，因为总可以找到一种方式将所有的椭圆函数表示出来，并且进行变换，就像向量空间中的任意向量可以通过基展开一样，那么这些基函数就是学习的重点了，基的选择一般来说需要完备性，正交性，从而完美实现表示任务，对于函数空间的表示则需要额外的要求，可计算性，良好的变换性质，就像傅里叶基对周期函数的表示一样。要应用，就必须计算出结果。
椭圆这两个字在很多地方都出现了，椭圆函数，椭圆积分，椭圆曲线，椭圆型算子，估计是指非线性数学对象中最初等的例子。