椭圆函数

看到了一道椭圆积分的题目，想起来很久之前下载的椭圆函数论，就看了看。突然发觉，当时感觉高深的内容很普通，甚至于有些无聊。
双周期函数，椭圆函数其实就是双周期函数，可能会觉得很奇怪，单周期，双周期有啥区别？区别就是复数域上的函数，可以有双周期。主要是这个理论年代比较久远了，当时对于函数的定义并不像现在这么普遍，更多的还是实函数，复函数之类的。往往也看不见集合论的踪影。集合论作为数学基础改写所有的教材是二十世纪的事情。这时候椭圆函数早已经过时了。后来在代数数论中又被捡起来了，模形式，自守形式之类的东西，费马大定理的证明推动了他的再次兴起。按现在的理解，椭圆函数比较容易把握。
我看这书上也没有用到群论的语言，所以还是用函数变换的观点说明函数形式的概念。这就想起来特殊函数论的东西，他们没有融合现代抽象代数的内容，还是按照以前解析函数论的那一套搞，无穷级数展开，无穷乘积展开，路径积分，留数定理，零极点表示。在形式上非常繁琐，不过也有好处，很具体，现在的观点，估计上来就定义一个椭圆函数空间，然后定义这个空间上的自同构作为函数变换，然后考虑函数空间的基，表示，估计还能引进泛函，获得对偶空间的结果。泛函从线性拓展到高阶，变换也可以从基本变换变成高次变换。引进微分方程的内容。
不过，椭圆函数终究还是不太一样的，他是低次数的非线性函数，也算不上多项式函数，虽然现在的泛函分析动不动就是连续函数空间，平方可积空间，但是具体的函数，他是不关注的。只是，现在比较尴尬，椭圆函数很重要，但是又不重要，相比于应用数学而言，偏向于纯粹数学，但是纯粹数学对他不感兴趣。反而是应用数学未来考虑非线性的话是肯定要涉及这一块的。毕竟线性近似无法完美逼近，总会留下模糊地带。
具体的内容，主要是讲了椭圆函数的几大种类，雅可比，魏尔斯特拉斯，西塔函数，介绍了他们的互相表示方法，然后是各种常用表示，无穷级数，无穷乘积，零极点，积分，导数。然后就是变换，从一种参数转化为另一种参数，应用，在什么场合下会出现椭圆函数，椭圆函数与椭圆积分的关系。与之前的印象不同，看上去反而是一本入门读物。
看起来怀旧风十足，是外行人以为的数学。充满了运算，代换，长长的式子，复杂的符号，但是却又能让人看明白，认为差得只是耐心和细心。现在的数学，一上来就抽象化了，函数变成了元素，数列变成了函数列，变换变成了同态，运算成了代数结构的乘法，粗看几眼，啥也看不懂。好像穿越了时空，确实，感觉很奇怪，似乎在无形中切换了发展方向，走在了另一条平行线上。