离散数学复习:集合论

集合论基础

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1.集合的初见

1.1 集合定义

什么是集合:

集合:由指定范围内满足特定条件的所有对象聚集在一起构成,每一个对象称为这个集合的元素

公理化集合论:

外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 + 替换公理 + 正则公理 + 选择公理。(ZFC 公理化集合论)

这些公理描述的都是集合的一些属性

集合的例子:

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1.2 集合的表示

集合的表示法:

  • 大写字母 A , B , C . . . , A 1 , A 2 , C 1 A,B,C...,A_1,A_2,C_1 A,B,C...,A1,A2,C1表示集合
  • 小写字母 a , b , c . . . , a 1 , b 1 , c 1 , . . . a,b,c...,a_1,b_1,c_1,... a,b,c...,a1,b1,c1,...表示集合中的元素

属于关系:

a是集合A中的元素,则称a属于A,记为 a ∈ A a\in A aA

若a不是集合A中的元素,则称a不属于A,记为 a ∉ A a∉ A a/A

集合的表示法:

  • 枚举法: A = { a , b , c , d } , B = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10.... } A=\{a,b,c,d\},B=\{2,4,6,8,10....\} A={a,b,c,d},B={2,4,6,8,10....}

  • 叙述法:刻画集合中元素的特性表示集合 P = { x ∣ P ( x ) } P=\{x|P(x)\} P={xP(x)}

    A = { x ∣ x 是英文字母中的元音字母 } B = { x ∣ x ∈ Z , x < 10 } C = { x ∣ x = 2 k , k ∈ N } A=\{x|x是英文字母中的元音字母\}\\ B= \{x|x∈Z, x< 10\}\\ C=\{x|x= 2k,k∈N\} A={xx是英文字母中的元音字母}B={xxZ,x<10}C={xx=2k,kN}

  • 文视图:用平面上的点做成图示

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1.3 基数

集合包含的元素的数量称为集合的基数(base number),记为 ∣ A ∣ |A| A

若一个集合的基数是有限的,则称该集合为有限集

若一个集合的基数是无限的,则称该集合为无限集

2.特殊集合与集合间的关系

2.1 空集

不含任何元素的集合称为空集,记做 ∅ \empty

空集可以符号化为: ∅ = { x ∣ x ≠ x } \empty = \{x|x\neq x\} ={xx=x}

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空集是绝对唯一的

2.2 全集

针对一个具体范围,我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set) ,记作U或E.在文氏图一般使用方形表示全集。

在这里插入图片描述

2.3 相等关系

2.3.1 元素的基本特性

集合中的元素是无序的。

集合中的元素是不同的。

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2.3.2 集合的外延性公里

集合的外延性原理

两个集合相等,当且仅当他们的元素完全相同,记为A=B,否则A和B不相等,记为 A ≠ B A\neq B A=B

2.4 包含关系

2.4.1 包含关系的定义

A中含有B中的所有元素,这种情况称为A包含B

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" ⊆ ”关系的数学语言描述为: B ⊆ A ⇔ 对 ∀ x ,如果 x ∈ B ,那么 x ∈ A "\subseteq ”关系的数学语言描述为:B\subseteq A\Leftrightarrow 对\forall x,如果x\in B,那么x\in A "关系的数学语言描述为:BAx,如果xB,那么xA
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2.4.2 集合相等与包含关系

证明集合相等:

设A和B为两个任意的集合,则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A A=B\Leftrightarrow A\sube B并且B\sube A A=BAB并且BA【important】

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2.4.3 n元集合的子集

n元集合的子集:

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★推广:对于任意n元集合A,它的m元(0≤m≤n)子集个数为 C n m C_n^m Cnm个,所以不同的子集个数为: C n 0 + C n 1 + . . . + C n n = ( 1 + 1 ) n = 2 n C_n^0+C_n^1 +...+ Cn^n = (1+ 1)^n= 2^n Cn0+Cn1+...+Cnn=(1+1)n=2n.

2.5 幂集

定义:设A为任意集合,把A所有不同的子集构成的集合称为A的幂集,记做 P ( A ) P(A) P(A),即:
P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A) = \{x|x\sube A\} P(A)={xxA}
幂集也叫作集族或集合的集合,对于集族的研究在数学方面,知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有重要的意义。
x ∈ P ( A ) ⇔ x ⊆ A x\in P(A)\Leftrightarrow x\sube A xP(A)xA

3. 集合的运算

3.1 并集

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3.2 交集

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3.3 补集

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3.4 差集

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3.5 对称差集

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4.集合的运算定律

4.1 运算定律

幂等律: A ∪ A = A ; A ∩ A = A A\cup A=A;A\cap A=A AA=A;AA=A

交换律: A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A A\cup B=B\cup A; A\cap B=B\cap A AB=BA;AB=BA

结合律: A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C, A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C

同一律: A ∪ ∅ = A , A ∩ U = A A \cup \varnothing=A, A \cap U=A A=A,AU=A.

零律: A ∪ U = U , A ∩ ∅ = ∅ A \cup U=U, A \cap \varnothing=\varnothing AU=U,A=.

分配律: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) , A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC).——与加减法不同,并也满足分配

吸收律: A ∪ ( A ∩ B ) = A , A ∩ ( A ∪ B ) = A A \cup(A \cap B)=A, A \cap(A \cup B)=A A(AB)=A,A(AB)=A.

矛盾律和排空律: A ˉ ∩ A = ∅ , A ˉ ∪ A = U \bar{A} \cap A=\varnothing, \bar{A} \cup A=U AˉA=,AˉA=U.

双重否定律: A ‾ ‾ = A \overline{\overline{A}}=A A=A

德摩根律: A ∪ B ‾ = A ˉ ∩ B ‾ , A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \overline{B}, \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B} AB=AˉB,AB=AB.

4.2 证明

证明方法:

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5.可数集合和不可数集合

5.1 自然数集

5.1.1 皮亚诺公里

皮亚诺公理:基于序数的自然数定义公理。定理包括:

  • 0是自然数
  • 每个自然数n都有一个后继,这个后继也是一个自然数,记为 S ( n ) S(n) S(n)
  • 两个自然数相等,当且仅当他们有相同的后继,即 m = n m=n m=n,当且仅当 S ( m ) = S ( n ) S(m)=S(n) S(m)=S(n)
  • 没有任何自然数的后继是0
  • (归纳公理)若 φ φ φ是一个自然数的预测
    • 如果 φ ( 0 ) φ(0) φ(0)为真
    • φ ( n ) φ(n) φ(n)为真,则有 φ ( S ( n ) ) φ(S(n)) φ(S(n))为真
    • φ ( n ) φ(n) φ(n)对任何自然数成立

5.1.2 冯诺依曼的自然数定义

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5.2 等势

如何比较集合之间元素的多少?

  • 有限集合:基数
  • 无限集合:看集合之间是否存在一种一一对应关系【等势】

设A,B为两个集合,若A,B之间存在一种一一对应关系:
Ψ : A → B \Psi:A\rightarrow B\\ Ψ:AB
则称A和B是等势的,记做:
A ∼ B A\sim B AB

note:由等势的定义可以看出,如果 A = B,那么 A ∼ B A\sim B AB,反之不成立

5.3 可数集合

凡是与自然数集合等势的集合,称为可数集合(countable set),该集合的基数记为 ℵ 0 \aleph_0 0(读作阿列夫0)

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  • 两个无限集合的大小不能用集合中的元素的个数来衡量, ℵ 0 \aleph_0 0表示一切可数集合的基数,是一种抽象的表达
  • 表面上个数完全不相等的两个集合之间仍然可能存在等势关系,如集合与其真子集之间,体现了有限集合和无限集合的根本差别

5.4 不可数集合

定义:开区间 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)称为不可数集合,凡是与开区间 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)等势的集合,称为不可数集合,该集合的基数记为 ℵ \aleph (读作阿列夫)

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