AA@复数系和实数系多项式因式分解@代数学基本定理

复系数和实系数多项式因式分解

• 在一般数域上的结论在特殊数域:复数域和实数域上可以进一步具体化
• 对于复数域,有重要定理:代数基本代数基本定理

代数基本定理

• 复系数多项式$f(x)$,($\partial (f(x))⩾1$)在复数域中有一根
  • 定理的证明较为复杂,此处略去
• 结合根于一次因式的关系,定理的等价描述:
  • 复系数多项式$f(x)$,($\partial (f(x))⩾1$)在复数域上一定有一个一次因式
• 因此,在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的
  • 即不可约多项式只有一次多项式

因式分解定理在复数域上的描述

• 复系数多项式因式分解定理:每个次数大于1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的乘积
• 因此,复系数多形式具有标准分解式:$f(x)=a_n{\prod }_{i=1}^s(x-{\alpha }_i{)}^{l_i}$
  • ${\alpha }_i,i=1,2,\cdots ,s$是互不相同的复数,$l_i,i=1,2,\cdots ,s$是正整数
  • 标准分解式说明,每个$n$次复系数多项式恰有$n$个复根(重根按重数计算,即${\sum }_{i=1}^s{l}_i=n$)

实系数多项式的分解

• 实系域是复数域的子数域

• 实系数多项式的性质可以更具体

• 如果$\alpha$是实系数多项式$f(x)$的复根,则$\alpha$的共轭数$\overline{\alpha }$也是$f(x)$的根

  • 定理的符号描述:$f(\alpha )=0\Rightarrow f(\overline{\alpha })=0$

• 证明:

  • 设$f(x)={\sum }_{i=1}^s{a}_i{x}^i$,其中,$a_i,i=1,2,\cdots ,n$是实数
  • 由假设:$f(\alpha )={\sum }_{i=1}^s{a}_i{\alpha }^i=0$
    • 等号两边取共轭:
      • LHS=$\overline{{\sum }_{i=1}^s{a}_i{\alpha }^i}$=${\sum }_i^s\overline{a_i{\alpha }^i}$=${\sum }_i^s{a}_i\overline{{\alpha }^i}$=${\sum }_i^s{a}_i{\overline{\alpha }}^i$
      • RHS=0
      • 即${\sum }_i^s{a}_i{\overline{\alpha }}^i=0$
    • 而$f(\overline{\alpha })$$=$${\sum }_{i=1}^s{a}_i{\overline{\alpha }}^i$
    • 所以$f(\overline{\alpha })=0$,这说明$\overline{\alpha }$也是$f(x)$的根

实系数多项式因式分解定理

• 每个次数大等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为:一次因式和二次不可约因式的乘积

  • 其中一次因式本身就是不可约的,从而定理后半句可以描述为:不可约的一次因式和二次因式的乘积

• 证明:

  • 考虑使用数学归纳法证明

  • 定理对于一次多形式显然成立

  • 归纳假设:定理对于次数小于n的多项式成立

  • 设$f(x)$是$n$次实系数多项式

  • 由代数基本定理,$f(x)$有复根$\alpha$

    • 若$\alpha \in \mathbb{R}$,则$f(x)=(x-\alpha )f_1(x)$,其中$\partial (f_1(x))=n-1$
    • 若$\alpha \notin \mathbb{R}$,则$f(\overline{\alpha )}=0$且$\overline{\alpha }\ne \alpha$,从而$f(x)=(x-\alpha )(x-\overline{\alpha })f_2(x)$,$\partial (f_2(x))=n-2$
      • 显然$G(x)=(x-\alpha )(x-\overline{\alpha })$=$x^2-(\alpha +\overline{\alpha })x+\alpha \overline{\alpha }$是一个实系数不可约多项式
        • 因为$G(x)=0$在复数域至多有2个根(代数基本定理),而本情况中两个根都是虚数,从而不能在${\alpha }^{\prime }\in \mathbb{R}$使得,$G({\alpha }^{\prime })=0$,因此不存在$G(x)=(x-{\alpha }^{\prime })q(x)$(否则$G({\alpha }^{\prime })=0$,这和$G({\alpha }^{\prime })=0$无解发生矛盾),从而$G(x)$在实数系内不可约
      • 设$\alpha =a+bi$,则:$\alpha +\overline{\alpha }=2a$,$\alpha \overline{\alpha }=a^2+b^2$
      • $G(x)=x^2-2ax+a^2+b^2$
      • 从而$f_2(x)$是$n-2$次实系数多项式
    • 由归纳假设以及$\partial (f_1(x))=n-1<n$,$\partial (f_2(x))=n-2<n$,则$f_1(x),f_2(x)$可以被分解为一次与二次不可约多项式的乘积
    • 再由$f(x)$与$f_1(x),f_2(x)$的关系可知,$f(x)$也可以被分解为一次与二次不可约多项式的乘积
    • 所以任何实系数多项式$f(x)$都可以被分解为一次与二次不可约多项式的乘积

• 因此实系数n次多项式$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i(1)$具有标准分解式:

  • $$f(x)=a\prod _{i=1}^s(x-c_i{)}^{l_i}\prod _{i=1}^r(x^2+p_{i}x-q_i{)}^{k_i}$$

    • 令$D_s=\{1,2,\cdots ,s\}$,$D_r=\{1,2,\cdots ,r\}$

    • $c_i(\forall i\in D_s)$,$p_i,q_i(\forall i\in D_r)$是实数

    • $l_i(\forall i\in D_s)$,$k_i(\forall i\in D_r)$是正整数

    • $a\in \mathbb{R}$是常数,$a=a_n$表示$f(x)$的最高次项$a_n{x}^n$的系数

      • 由代数基本定理,$f(x)=a{\prod }_{i=1}^n(x-{\alpha }_i)(2)$,${\alpha }_i,i=1,2,\cdots ,n$是$f(x)=0$的复根
      • 容易确定$n$次项的系数是$a$,比较$(1),(2)$,中最高次项的系数可知$a=a_n$

    • $G_i(x)=x^2+p_{i}x+q_i,\forall i\in D_r$是实数系内不可约的($G_i(x)=0$无实数解),从而判别式${\Delta }_i=p_i^2-4q_i<0,\forall i\in D_r$