【微积分】导数

一、什么是导数
导数,也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的自变量 x x x在一点 x 0 x_0 x0上产生一个增量 Δ x Δx Δx时,函数输出值的增量 Δ y Δy Δy与自变量增量 Δ x Δx Δx的比值在 Δ x Δx Δx趋于0时的极限。 a a a如果存在, a a a即为在 x 0 x_0 x0处的导数,记作 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) d f ( x 0 ) d x \frac{df(x_0)}{dx} dxdf(x0)
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数 f ( x ) f(x) f(x) x ↦ f ′ ( x ) x↦f'(x) xf(x)也是一个函数,称作 f ( x ) f(x) f(x)的导函数(简称导数)。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。求导的公式为
f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} f(x)=Δx0limΔxΔf(x)=Δx0limΔxf(x+Δx)f(x)
二、导数的四则运算法则。
f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) = [ f ( x ) ± g ( x ) ] ′ f^\prime(x) \pm g^\prime(x) = \left[{f(x) \pm g(x)}\right]^\prime f(x)±g(x)=[f(x)±g(x)] f ′ ( x ) ⋅ g ′ ( x ) = f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) + f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) f^\prime(x) \cdot g^\prime(x) = f(x)\cdot g^\prime(x) + f^\prime(x)\cdot g(x) f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) f ′ ( x ) g ′ ( x ) = f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) − f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) [ g ( x ) ] 2 \frac{f^\prime(x) }{ g^\prime(x)} = \frac { f(x)\cdot g^\prime(x) - f^\prime(x)\cdot g(x)}{\left[g(x)\right]^2} g(x)f(x)=[g(x)]2f(x)g(x)f(x)g(x)
三、基本初等函数导数表及推理过程:
1. f ( x ) = c f(x) = c f(x)=c:
f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = 0 Δ x = 0 f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac 0 {\Delta x} = 0 f(x)=Δx0limΔxΔf(x)=Δx0=0
2. f ( x ) = x μ f(x) = x^\mu f(x)=xμ
f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = ( x + Δ x ) μ − x μ Δ x = μ x μ − 1 f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {(x + \Delta x)^\mu - x^\mu} {\Delta x} = \mu x^{\mu - 1} f(x)=Δx0limΔxΔf(x)=Δx(x+Δx)μxμ=μxμ1
3. f ( x ) = sin ⁡ x f(x) = \sin x f(x)=sinx
f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = sin ⁡ ( x + Δ x ) − sin ⁡ x Δ x = cos ⁡ x f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {\sin(x + \Delta x) - \sin x} {\Delta x} = \cos x f(x)=Δx0limΔxΔf(x)=Δxsin(x+Δx)sinx=cosx
4. f ( x ) = cos ⁡ x f(x) = \cos x f(x)=cosx
f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = cos ⁡ ( x + Δ x ) − cos ⁡ x Δ x = cos ⁡ x f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {\cos(x + \Delta x) - \cos x} {\Delta x} = \cos x f(x)=Δx0limΔxΔf(x)=Δxcos(x+Δx)cosx=cosx
5. f ( x ) = a x f(x) = a^x f(x)=ax
f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = a x + Δ x − a x Δ x = a x ln ⁡ x f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {a^{x + \Delta x} - a^ x} {\Delta x} = a^x\ln x f(x)=Δx0limΔxΔf(x)=Δxax+Δxax=axlnx
6. f ( x ) = tan ⁡ x f(x) = \tan x f(x)=tanx
f ′ ( x ) = ( sin ⁡ x cos ⁡ x ) ′ = sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x f^\prime(x) = (\frac {\sin x}{\cos x})^\prime = \frac {\sin^2 x+\cos^2x}{\cos^2x} = \sec^2x f(x)=(cosxsinx)=cos2xsin2x+cos2x=sec2x
7. f ( x ) = cot ⁡ x f(x) = \cot x f(x)=cotx
f ′ ( x ) = ( cos ⁡ x sin ⁡ x ) ′ = − cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x = − csc ⁡ 2 x f^\prime(x) = (\frac {\cos x}{\sin x})^\prime = -\frac {\cos^2 x+\sin^2x}{\sin^2x} = -\csc^2x f(x)=(sinxcosx)=sin2xcos2x+sin2x=csc2x
8. f ( x ) = log ⁡ a x f(x) = \log_a x f(x)=logax
f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = log ⁡ a ( x + Δ x ) − log ⁡ a x Δ x = 1 a ln ⁡ x f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {\log_a(x + \Delta x) - \log_a x} {\Delta x} = \frac 1 {a\ln x} f(x)=Δx0limΔxΔf(x)=Δxloga(x+Δx)logax=alnx1
四、初等函数的导数运算。
1.初等函数的定义:初等函数是有基本初等函数进行四则运算得出的,形如 f [ u ( x ) ] f[u(x)] f[u(x)]这样的函数是初等函数,其中 u ( x ) u(x) u(x)为初等函数。
2.初等函数的导数:
形如 f [ u ( x ) ] f[u(x)] f[u(x)]的函数导数定义为 f ′ ( x ) = f ′ ( u ) ⋅ u ′ ( x ) f^\prime(x) = f'(u)\cdot u'(x) f(x)=f(u)u(x)

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