二分图最大匹配

这一篇是总结一下二分图的剩余内容，其中最主要的部分是二分图最大匹配算法。

一. 二分图最大匹配：

1. 二分图最大匹配算法具体在做什么：

        二分图的最大匹配算法，其实就是要找出二分图中一个最大的匹配。那么什么是二分图中的匹配？二分图的匹配本质上是一个集合G'，也就是一个原本二分图G的子集。对于G' = (V,E)，任取其中的两条边，这两条边关联的顶点是不重合的，就可以说这个二分图G的子集是它的一个匹配。比如下面的例子：

例图1

例图2

例图3

        看上面的例子，原始的二分图为例图1，很容易可以看出，例图2和例图3都是例图1的子图。例图2中的子图，存在1-2，2-3，3-4这三条边，取出1-2，2-3这两条边来分析，它们有公共点2，因此例图2这个子图不是原二分图的匹配。例图3中的子图，有两条边1-2，3-4。取这两条边来分析，没有公共点，所以是原图的一个匹配。而最大二分匹配，就是希望找到一个包含尽可能多的点，的一个原图的匹配。（边尽可能多，点尽可能多，其实是等价的。因为如果是一个匹配，那么必然满足点的数量是边的数量的2倍）

2. 如何来找最大的匹配：

2.1 算法前提：

 增广路径：与最大流算法类似，二分图最大匹配算法也需要引入一个属于二分图的增广路径来实现。这里增广路径的定义，是一种交叉路径的方式，具体看下图：

例图4

上图中，黄色的边，代表已经找出的边，将边连接的两个顶点加入匹配的集合。

增广路径要求：

       1. 初始节点是一个没有加入到匹配的点，也就是说，与它相连的边，不能有黄色边。比如说例图4中的1和4。

       2. 满足交叉路径，比如说例图4的黄色边称为匹配边，黑色边称为未匹配边的话，增广路径要求边的顺序按照未匹配边，匹配边，未匹配边...未匹配边的顺序排列，比如说上面的1-2，2-3，3-4。

      3. 如上所述，一条增广路径，除了以未匹配边开始以外，还必须以未匹配边结束，并且结束的这条未匹配边，末尾的节点必须也是一个没有加入到匹配的点。这样定义的意义在于，保证增广路径中未匹配边肯定比匹配边多一条，那么考虑将匹配边全部变为未匹配边，未匹配边变成匹配边，就可以在匹配集合中加入一组点和边，具体例子如下：

例图5

                                        不难理解，上面说的这种变换一定是可行的。

2.2 算法流程：

       这里分析一下最常见的匈牙利算法，这个算法的时间复杂度是，n为二分图一侧点的数量，m为图中边的数量。所以这里其实可以有一步小的优化，就是将二分图起始的一侧变为点的数量小的一侧，不过问题不大。常见的优化还有，用最大流算法dinic来优化，dinic跑这里的二分图最大匹配算法的话，时间复杂度大约是。（dinic跑最大流算法，虽然是的复杂度，但是其实它是十分接近，实际复杂度大约是n的0.6次方）

      匈牙利算法其实也比较简单，比如说取二分图一侧的节点集合为起始点，最外层的循环，就是要遍历一下每一个节点是否可以找到一条增广路径，如果能找到，那么匹配集合中边的数量就可以加1。而且只能加1，因为一条增广路径，为匹配边的数量只会比匹配边的数量多1。

      接下来要分析如何找增广路径，其实就是用一个dfs，从当前节点出发，比如将二分图的节点集合分为A和B，从A集合的点出发，到B集合中的一个点，如果这个节点没有被加入匹配中，那么可以直接将当前的两个节点，和连接它们的边凑成一组送进匹配中；如果这个节点已经加入了匹配，那么就要用上面提到的增广路径了，一旦发现它有增广路径，代表的含义其实是，这个B集合的节点给了A集合的那个起点，后面的点也能各自找到自己对应的点加入匹配。

              ok这么说肯定很晦涩，也很难理解。接下来看下面的例子：

例图6

        例图6为原始的二分图，可以分为{1，2，3，4}和{5，6，7，8}两个集合。不妨以左侧的，{1，2，3，4}集合的点，为起始点来分析。

        首先从1开始，与1相连的有两条边，1-5和1-7，不妨设先访问了1-5这条边，5未加入匹配集合，因此将1，5加入匹配的集合（实际上就是匹配的数量++，然后记录5的匹配前驱是1），此时的状态如下图：

例图7

       接下来访问到2这个节点，2先访问到5，发现5已经加入了匹配集合（实际实现时，是发现5有对应的匹配前驱）。此时进入第二种情况，查找是否有增广路径，从2到5是一条未匹配边，接下来是一条匹配边，这一步其实很容易实现，因为5在匹配集合中，所以与5连接的，匹配边的另一个点，一定就是5的匹配前驱，也就是1，所以实现时，可以直接找到匹配边的另一个顶点。

       此时到了1之后，相当于又开始了找是否有合适的匹配点的过程，与初始时类似。因为5在这次找的过程中已经访问过（增广路径的点肯定不能复用），因此找到的下一个点是7，发现7不在匹配集合中，所以1-7可用，满足了一条非匹配，匹配，非匹配，且结尾的节点不在匹配集合的要求，这条路径可行，更新7的匹配前驱为1，5的匹配前驱为2：

例图8

        接下来从节点3出发，同样先访问到5的话，找增广路径。根据5的前驱，找到2，2再去找的话，发现6未加入匹配集合，因此将这次的结果更新到匹配集合中，更新6的匹配前驱为2，5的匹配前驱为3：

例图9

        接下来更新4，4找到5，根据5的匹配前驱又到了3；3没有其他连接的边，所以此时没有增广路径，4不能加入匹配中。至此，整个过程结束，最大匹配次数为3，有3条边，6个点。

        此时可能会想，如果3有其他某条相连的边的话，通过某种增广方法，在访问到4时，3连的不是5，那么就有了。确实有了，但是换个角度想，如果有了这条边，恰好4也能增广进来的话，用这个算法，4也一样可以把与3连的边“挤到”另外一个点上啊。

最后，给出一道最大二分匹配的模板题目，以及一份匈牙利算法的AC代码，题目【模板】二分图最大匹配，代码：

#include

using namespace std;

int n,m,e,cnt=0,match[510];

vector next_v[510];

bool visited[510];

bool dfs(int from){

    for(int i = 0;i < next_v[from].size();i++){

        if(!visited[next_v[from][i]]){

            visited[next_v[from][i]] = true;

            if(match[next_v[from][i]] == 0){

                match[next_v[from][i]] = from;

                return true;

            }

            else if(dfs(match[next_v[from][i]])){

                match[next_v[from][i]] = from;

                return true;

            }

        }

    }

    return false;

}

int main(){

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);

    int u,v;

    for(int i = 0;i < e;i++){

        scanf("%d%d",&u,&v);

        next_v[u].push_back(v);

    }

    for(int i = 1;i <= n;i++){

        memset(visited,0,sizeof(visited));

        if(dfs(i))cnt++;

    }

    printf("%d\n",cnt);

    return 0;

}

二. 一些其他常见相关内容：

最大独立集：点的总数 - 最大匹配集合中点的数量

最小点覆盖：最大匹配中点的数量

最小边覆盖：最大匹配中边的数量

       上面这些问题的概念，以及证明，这里都不再赘述。就是简单给出一些常见内容，有什么需要补充的知识可以自行补充。