排队论学习笔记
排队论学习笔记
概述
排队论：又称随机服务系统理论，是通过对服务对象的到来及服务时间的统计研究得出这些数量指标（等待时间，排队长度，忙期长短等）的统计规律。
根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
它是数学运筹学的分支学科，也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络，生产，运输，库存等各项资源共享的随机服务系统。
排队系统一般有三个基本组成部分： 1.输入过程 2.排队规则 3.服务机构
输入过程
情况一：顾客源有限还是无限
情况二：顾客是成批到达还是单个
情况三：顾客到达时间间隔是随机还是确定
情况四：顾客到达是相互独立还是关联
情况五：顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值，方差）与时间是否有关
排队规则
损失制：顾客到达排队系统时，若所有的服务台已被占用则该顾客离开
等待制：顾客到达系统时，所有服务台都不空闲，顾客排队等待
混合制：损失制与等待制相结合的一种服务规则，一般指允许排队但又不允许队列无限长下去
闭合制：顾客对象与服务对象相同且固定
等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：
先到先服务（FCFS)：按照顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情况。
后到先服务（LCFS)：例如仓库中迭放的钢材，后迭放的都是先领走的。
随机服务（RAND)：当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话。
优先权服务（PR)：如老人，儿童先进车站；危重病员先就诊。
服务机构
服务台数量及构成形式：单队——单服务台； 单队——多服务台并联式；单队——多服务台串联式； 单队——多服务台串并联混合式； 多队——多服务台并联式； 多队——多服务台串并联混合式
服务方式：指在某一时刻接受服务的顾客数，包括单批服务（银行柜台）和成批服务（公交车）
服务时间分布：顾客接受服务的时间服从什么样的概率分布如定长分布、负指数分布等
排队论模型
为区分各种排队系统，根据输入过程，排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述和分类，描述格式为：X/Y/Z/A/B/C
X：表示顾客相继到达间隔时间分布（M(泊松过程),D(定长输入),E(k阶爱尔朗分布),GI(一般相互独立的随机分布),G(一般的随机分布)）
Y：表示服务时间分布（分布同X）
Z：表示服务台个数（1表示单个服务台，S(S>1)表示多个服务台）
A：表示系统中顾客容量限额（k=0时，不允许等待，为损失制；k=
时，为等待制；k为有限整数时，为混合制系统）
B：表示顾客源限额（有限，无限()）
C：表示服务规则（FCFS,LCFS,RAND,PR）
排队系统的数量指标
| 数量指标 |
符号 |
含义 |
| 队长 |
|
系统中的平均顾客数 |
| 等待队长 |
|
系统中处于等待的顾客的数量 |
| 平均逗留时间 |
|
顾客进入系统到离开系统这段时间 |
| 平均等待时间 |
|
顾客进入系统到接受服务这段时间 |
| 平均到达率 |
|
单位时间内平均到达的顾客数 |
| 平均服务率 |
|
单位时间内受到服务的顾客平均数 |
| 单个服务台的服务强度 |
|
每个服务台在单位时间内的平均负荷 |
泊松分布：
表示在[0,t]时间内到达的顾客数量
为k时的概率
单位时间内到达的顾客数为
，在[0,t]内到达的顾客平均数为
。
负指数分布：
每个顾客接受服务的平均时间为
。
生灭过程
生灭过程是一种马尔可夫过程。在排队论中很多过程和这个过程相仿。我们特别关心生灭过程在统计平衡时反映出来的稳态概率，并直接把这种稳态概率应用于建立各种排队模型。
设N(t)表示在t时刻系统中顾客数，若N(t)的概率分布具有如下性质:
(1)假设N(t)=n, 从时刻t起到下一个顾客到达时刻值止的时间服从参数为
的负指数分布，n=0,1,2,3...
(2)假设N(t)=n, 从时刻t起到下一个顾客离去时刻值止的时间服从参数为
的负指数分布，n=0，1,2.,3..
(3)同-时刻只有一个顾客到达或离去则称{N(t)，t≥0}为一个生灭过程。
其中：
eg:某小型超市有一个收款台，付款顾客以每小时30人的负指数分布到达。当收款台前只有一名顾客时，有一名收款员单独服务，收款时间为平均1.5min的负指数分布;当有2名或以上顾客时，将加一名助手为顾客服务，收款时间将缩短至平均1min的负指数分布，求收款台前有n个顾客的概率
解：单位时间为一小时，所以：
M/M/S模型
设
(p表示系统处于忙期的概率) ,当s= 1时，即系统内只有一个服务台，此时稳定状态下系统有n个顾客的概率为:
系统中没有顾客的概率为：
系统中顾客的平均队长为：
系统中顾客的平均等待队长为;
李特尔公式：
由上述推导可以得出：
表明排队系统的队长等于一个顾客 平均逗留时间内到达的顾客数
表明排队系统的等待队长等于一个顾客 平均等待时间内到达的顾客数
系统中顾客的平均逗留时间为：
系统中顾客的平均等待时间为：
当系统有多个服务台，即S>1时：
系统的服务能力为
，服务强度为
系统中顾客的平均等待队长为：
其中![\small p_{0}=\left[\sum_{n=0}^{s-1} \frac{\rho^{n}}{n !}+\frac{\rho^{s}}{s !\left(1-\rho_{s}\right)}\right]^{-1}](http://img.e-com-net.com/image/info8/ff681a5f0d4a4e7f9ffea1b392c2563e.png){kind=small}
为所有服务台空闲的概率
当
时，即系统中的顾客数大于等于服务台个数时，再到的顾客必须等待，其等待的概率为：
该公式称为等待公式。
系统的平均队长：
对于顾客在系统中的逗留时间与队列中的平均逗留时间可由little公式求出：
eg:某火车站售票处有三个窗口，同时售各车次的车票。顾客到达服从泊松分布，平均每分钟到达A = 0.9 (人) ,服务时间服从负指数分布，平均服务率μ= 24 (人/h) ,分两种情况: (1)顾客排成一-队，依次购票; (M/M/3/∞/∞) (2)顾客在每个窗口排一队，不准串队。(M/M/1/∞/ ∞三个系统并联)
求:(1)售票处空闲的概率 (2)平均队长和平均等待队长 (3)平均等待时间和逗留时间 (4)顾客必须等待的概率
解:根据已知，平均到达率每分钟
人，平均服务率每分钟
人，窗口数
,单窗口服务强度
,多窗口服务强度
，代入公式可得:
（1）整个售票处空闲的概率:
（2）平均等待队长：
平均队长:
（3）平均等待时间：
平均逗留时间：
（4）顾客到达后必须等待的概率：
