近世代数——Part2 群：基础与子群
文章目录
- 群介绍
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- 正方形的对称性
- 二面体群
- 群定义和性质
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- 二元操作
- 群定义
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- 例子
- 群性质
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- Theorem 2.1 群单位元唯一
- Theorem 2.2 消去律
- Theorem 2.3 群逆元唯一
- 一些简写
- Theorem 2.4 Socks-Shoes property
- 有限群和子群
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- 常用记号和定义
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- 阶
- 子群
- 子群检验方法
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- Theorem 3.1 One-Step Subgroup Test
- Theorem 3.2 Two-Step Subgroup Test
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- 一个重要例子——一种子群生成方式
- Theorem 3.3 Finite Subgroup Test
- 一些重要子群
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- Theorem 3.4 ⟨ a ⟩ \langle a\rangle ⟨a⟩是子群
- 群的中心（Center of a Group）
- 群中心化子（Centralizer of a a a in G G G）
群介绍
正方形的对称性
考虑这样一个问题，以某些方式移动一个正方形，最终使这个正方形与初始对比看不出变化，为实现这个目的，我们对正方形可以做哪些净作用(net effect)？
很明显，我们可以总结出八种移动方式：
- R 0 R_0 R0，绕中心旋转 0 0 0度
- R 90 R_{90} R90，绕中心旋转 90 90 90度
- R 180 R_{180} R180，绕中心旋转 180 180 180度
- R 270 R_{270} R270，绕中心旋转 270 270 270度
- H H H，沿水平对称轴翻转
- V V V，沿垂直对称轴翻转
- D D D，沿主对角线翻转
- D ′ D' D′，沿次对角线翻转
仔细思考可以发现，这 8 8 8种运动中，某些运动可以看作其他运动的依次作用的结果，如 D = H R 90 D=HR_{90} D=HR90，先逆时针旋转90度，再水平翻转，等价于沿主对角线翻转。
我们将这 8 8 8种运动以及所有他们的复合的集合，构成一种新的数学结构，叫做 8 8 8阶二面体群(dihedral group of order 8)，记为： D 4 D_4 D4
接下来可以以 D 4 D_4 D4群为例，观察一下群的性质。
- 观察一下群元素复合的结果，发现所有复合的结构仍属于那 8 8 8种运动，代数上来说，就是这个群存在这样的性质， A , B ∈ D 4 → A B ∈ D 4 A,B\in D_4\to AB\in D_4 A,B∈D4→AB∈D4，这叫做封闭性。
- 可以注意到，任何运动 M M M以任何先后顺序与 R 0 R_0 R0复合，结果都是 M M M，即 M R 0 = R 0 M = M MR_0=R_0M=M MR0=R0M=M，即对于复合这种运算，群里存在单位元。
- 对任何元素 A ∈ D 4 A\in D_4 A∈D4，总存在 B ∈ D 4 B\in D_4 B∈D4，使得 A B = R 0 AB=R_0 AB=R0，可画出Cayley表验证，这个性质叫做逆元存在。
- 注意到，让群中所有元素，与一个固定的元素复合，结果集合也会包含所有群元素。
- 注意到，有些复合顺序反过来也相等，而有些不相等，如 R 90 R 180 = R 180 R 90 , H D ≠ D H R_{90}R_{180}=R_{180}R_{90}, HD\neq DH R90R180=R180R90,HD=DH
- 有种不显眼的性质，即结合律，这个怎么验证呢？实际上将群操作看作一个函数，函数满足结合律，那群元也满足
二面体群
相同的分析也可以作用于正三角形，正五边形等，我们将正多边形的对称群归纳为二面体群，具体的 D n D_n Dn叫做dihedral group of order 2 n 2n 2n，表示正 n n n边（角）形的对称性。
群定义和性质
二元操作
Let G G G be a set. A binary operation on G G G is a function that assigns each ordered pair of elements of G G G an element of G G G.
这个定义给出了一个函数 f : G × G → G f:G\times G\to G f:G×G→G，实际上是定义了一种封闭的乘法。
群定义
Let G G G be a set together with a binary operation (multiplication) that assigns to each ordered pair ( a , b ) (a,b) (a,b) of elements of G G G an element in G G G denoted by a b ab ab. We say G G G is a group under this operation if the following three properties are satisfied.
- Associativity. 结合律
- Identity. 单元元
- Inverses. 逆元
简而言之，群就是一个定义了封闭乘法的集合，且满足结合律，单位元和逆元存在性。
例子
- 整数、有理数、实数加法群
- { 1 , − 1 , i , − i } \{1,-1,i,-i\} {1,−1,i,−i}在复数乘法下构成群
- 正有理数乘法群
- 同阶矩阵加法群
- 模 n n n加法群： Z n = { 0 , 1 , . . . , n − 1 } Z_n=\{0,1,...,n-1\} Zn={0,1,...,n−1}
- 非零实数乘法群
- 一般线性群： G L ( n , R ) GL(n,R) GL(n,R)，其实是实 n n n阶可逆矩阵在矩阵乘法下构成的群
- 互质模 n n n乘法群： U ( n ) = { i ∣ i < n ∧ gcd ( i , n ) = 1 } U(n)=\{i\mid i
首先封闭性，根据上一节的课后19题，如果 gcd ( a , n ) = gcd ( b , n ) = 1 , ∀ a , b ∈ U ( n ) \gcd (a,n)=\gcd (b,n)=1,\forall a,b\in U(n) gcd(a,n)=gcd(b,n)=1,∀a,b∈U(n)，那么必有 gcd ( a b , n ) = 1 \gcd (ab,n)=1 gcd(ab,n)=1，那么 a b m o d n ab\mod{n} abmodn必然与 n n n互质，只要用上节的Theorem 0.1拆开，并用Theorem 0.2验证即可。
然后，单位元必然是 1 1 1
最后， ∀ a ∈ U ( n ) \forall a\in U(n) ∀a∈U(n)，逆元存在吗？即可否找到 a ′ ∈ U ( n ) , s u c h t h a t a a ′ m o d n = 1 a'\in U(n), \mathrm{such\ that}\ aa'\mod{n}=1 a′∈U(n),such that aa′modn=1，由于 a s + n t = 1 as+nt=1 as+nt=1，显然 s ≠ 0 s\neq 0 s=0，如果 s > 0 s>0 s>0， s s s即是 a ′ a' a′；如果 s < 0 s< 0 s<0，那么 a ′ = n + s a'=n+s a′=n+s，因为 ( n + s ) a + n ( t − a ) = 1 (n+s)a+n(t-a)=1 (n+s)a+n(t−a)=1，故逆元存在 - 复数加法群，非零复数乘法群
- 单位复根在复数乘法下构成群： { e 2 k π n ∣ k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − 1 } \{e^{\frac{2k\pi}{n}} |k=0,1,2,\cdots ,n-1\} {en2kπ∣k=0,1,2,⋯,n−1}，它们是 x n = 1 x^n=1 xn=1的解
- 同纬向量在向量加法下构成群
- 特殊线性群： S L ( n , R ) SL(n,R) SL(n,R)，是行列式为1的矩阵在矩阵乘法下构成的群
群性质
Theorem 2.1 群单位元唯一
很明显，假定有两个单位元 e , e ′ e,e' e,e′， e = e e ′ = e ′ e=ee'=e' e=ee′=e′
Theorem 2.2 消去律
群满足左右消去律，即 b a = c a → b = c , a b = a c → b = c ba=ca\to b=c, ab=ac\to b=c ba=ca→b=c,ab=ac→b=c
用逆元左乘或右乘即可。
Theorem 2.3 群逆元唯一
假设 b ， c b，c b，c都是 a a a的逆，那么 e = a b = a c e=ab=ac e=ab=ac，根据消去律 b = c b=c b=c
一些简写
a − 1 a^{-1} a−1： a a a的逆
a n a^n an： n n n个 a a a相乘
Theorem 2.4 Socks-Shoes property
即取乘积的逆时，元素要翻转: ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} (ab)−1=b−1a−1
有限群和子群
常用记号和定义
阶
有两种：群的阶和元素的阶，对于群 G G G，群元素 g g g来说，两者分别记为 ∣ G ∣ |G| ∣G∣和 ∣ g ∣ |g| ∣g∣。群的阶指群元素的数量；元素的阶指的是满足 g n = e g^n=e gn=e的最小正整数 n n n（如果 g g g的任何次幂都不等于 e e e，那么说它的阶是无穷）。
子群
群 G G G的子集 H H H是它的子群，说的是 H H H在 G G G定义的二元操作下，构成一个群。记为 H ≤ G H\le G H≤G。
子群检验方法
群的子集，自然带有群的一些特性，定义了二元操作，以及它们满足结合律是肯定的，所以判断子集是群可不必按照定义来一步步确认，只需要说明在群的二元操作下，满足：封闭性；逆元；单位元即可。以下有几种典型的方法。
Theorem 3.1 One-Step Subgroup Test
G G G是一个群， H H H是 G G G的一个非空子集，如果： ∀ a , b ∈ H , a b − 1 ∈ H \forall a,b\in H, ab^{-1}\in H ∀a,b∈H,ab−1∈H，那么 H ≤ G H\le G H≤G
证明：因为 H H H非空，集合至少存在一个元素，那么根据 a b − 1 ∈ H ab^{-1}\in H ab−1∈H， e ∈ H e\in H e∈H；然后只要取 a = e a=e a=e就能说明逆元必然存在；最后，由于逆元存在，封闭性也可得知。
Theorem 3.2 Two-Step Subgroup Test
G G G是一个群， H H H是 G G G的一个非空子集，只需要满足封闭性，逆元存在，就可以保证 H ≤ G H\le G H≤G
证明：除去已满足的所有条件，只剩下单位元这一条需要验证，这很容易说明，由于逆存在， ∀ a ∈ H , a − 1 ∈ H \forall a\in H, a^{-1}\in H ∀a∈H,a−1∈H；又由于封闭性， a a − 1 = e ∈ H aa^{-1}=e\in H aa−1=e∈H
一个重要例子——一种子群生成方式
G G G是阿贝尔群， H ≤ G , K ≤ G H\le G, K\le G H≤G,K≤G，可得： H K = { h k ∣ h ∈ H , k ∈ K } HK=\{hk\mid h\in H, k\in K\} HK={hk∣h∈H,k∈K}也是 G G G的子群。
分析：由于阿贝尔群的可交换特性，封闭性和逆元都很容易说明。
Theorem 3.3 Finite Subgroup Test
H H H是 G G G的有限子集，如果 H H H封闭，那么 H ≤ G H\le G H≤G。
证明：相对于Theorem 3.2 我们多了一个条件：子集有限；少了一个条件：逆元。那么根据增加的条件证明逆元存在即可。对于 a ∈ H a\in H a∈H， a = e a=e a=e的逆元肯定存在，就是它自身；如果 a ≠ e a\neq e a=e，构造一个序列 { a , a 2 , a 3 , ⋯ , a n } \{a,a^2,a^3,\cdots ,a^n\} {a,a2,a3,⋯,an}，由于子群的有限性，这一序列不可能无限增加下去，必然存在某个 a n = a k , k < n a^n=a^k, k< n an=ak,k<n，那么 a n − k = 1 a^{n-k}=1 an−k=1，即 a − 1 = a n − k − 1 ∈ H a^{-1}=a^{n-k-1}\in H a−1=an−k−1∈H
这里给出一个记号： ⟨ a ⟩ = { a n ∣ n ∈ Z } \langle a\rangle=\{a^n\mid n\in Z\} ⟨a⟩={an∣n∈Z}
一些重要子群
Theorem 3.4 ⟨ a ⟩ \langle a\rangle ⟨a⟩是子群
根据 a b − 1 ∈ H ab^{-1}\in H ab−1∈H（即Theorem 3.1）很容易验证。
这个子群是很常用的，对于 a ∈ G a\in G a∈G，我们称 ⟨ a ⟩ \langle a\rangle ⟨a⟩为： G G G由 a a a生成的循环子群。如果 ⟨ a ⟩ = G \langle a\rangle =G ⟨a⟩=G，我们称 G G G为循环子群，且 a a a是 G G G的一个生成元。这个子群还有个特殊性质，可以考虑 ⟨ a ⟩ \langle a\rangle ⟨a⟩是 G G G的所有包含 a a a的子群中最小的那个，因为根据封闭性，只要子群包含 a a a，就必然包含 a a a生成的所有元素。
这个生成的概念可以推广，对一个子集 S S S， ⟨ S ⟩ \langle S\rangle ⟨S⟩是包含 S S S的所有子群中最小的那个，叫做 S S S生成的子群。
群的中心（Center of a Group）
定义为： Z ( G ) = { a ∈ G ∣ a x = x a ∀ x ∈ G } Z(G)=\{a\in G\mid ax=xa\ \forall x\in G\} Z(G)={a∈G∣ax=xa ∀x∈G}， Z ( G ) ≤ G Z(G)\le G Z(G)≤G
这个子群的含义是，所有可与所有群元素交换的群元素的集合。
证明：首先， Z ( G ) Z(G) Z(G)非空，因为单位元肯定可以与所有元素交换；接下来证明封闭性： ∀ a , b ∈ Z ( G ) ， ∀ x ∈ G , a x = x a , b x = x b \forall a,b\in Z(G)，\forall x\in G,ax=xa, bx=xb ∀a,b∈Z(G)，∀x∈G,ax=xa,bx=xb，那么 a b x = a x b = x a b abx=axb=xab abx=axb=xab，封闭性可知；然后证明逆元存在： ∀ a ∈ Z ( G ) ， a x = x a \forall a\in Z(G)，ax=xa ∀a∈Z(G)，ax=xa， a − 1 a x = a − 1 x a = x , a − 1 x = x a − 1 a^{-1}ax=a^{-1}xa=x,a^{-1}x=xa^{-1} a−1ax=a−1xa=x,a−1x=xa−1，逆元可知。
群中心化子（Centralizer of a a a in G G G）
a a a是个固定的群元素，中心化子 C ( a ) C(a) C(a)是所有可与 a a a交换的群元素的集合，即 C ( a ) = { g ∈ G ∣ g a = a g } C(a)=\{g\in G\mid ga=ag\} C(a)={g∈G∣ga=ag}
∀ a ∈ G , C ( a ) ≤ G \forall a\in G, C(a)\le G ∀a∈G,C(a)≤G，所有元素的中心化子都是子群
证明：首先 C ( a ) C(a) C(a)非空， a a a肯定和它本身可交换；然后证明封闭性： ∀ b , c ∈ C ( a ) \forall b,c\in C(a) ∀b,c∈C(a)，显然 b , c b,c b,c分别与 a a a可交换，那么 b c a = b a c = a b c bca=bac=abc bca=bac=abc，封闭性可知；然后证明逆的存在，和群的中心一样证明就可。