连分数

对于连分数，我们可以表示为：

对于无理数，ai一定是无穷数列，反之，对于有理数，ai一定是有穷数列。

对于上式中的p与q，有递推式：

而对于sqrt(n)来说，ai中的首项为一个单独的整数，除了它后面的都会循环。

下面我们来分析一个关于连分数的题目。

题目：连分数

题意：给两个整数n和k，n<=10^6，k<=10^9，sqrt(n)可以表示为连分数，求满足数列到ak的结果。

分子分母对1000000007取余。

对于这个问题，当然是先求出数列ai，求这个直接倒啊倒。

关键是有了这个ai数列，如何求到第k位的结果。这个当然有循环节，然后在一个循环节内是可以先处理出结果。

然后再计算有多少个这样的循环节，这部分就可以快速幂，剩下的部分就直接multi暴力吧。

此过程中还有一个重要的点，就是：

怎么处理的？

在本题由于sqrt(n)的整数部分没有存进a数组，我们知道p1=a1，p2=a1a2+1，所以我们把上述矩阵表示为：

所以这样完全就解决问题了，如果是q，最后面那个矩阵应该是0，1

 

#include <iostream>

#include <string.h>

#include <stdio.h>

#include <algorithm>

#include <math.h>



using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=50005;

const double eps=1e-8;

const LL MOD=1000000007;



LL a[N];

LL cnt;



struct Matrix

{

    LL m[2][2];

};



Matrix per={1,0,0,1};



Matrix multi(Matrix a,Matrix b)

{

    int i,j,k;

    Matrix c;

    for(i=0;i<2;i++)

    {

        for(j=0;j<2;j++)

        {

            c.m[i][j]=0;

            for(k=0;k<2;k++)

                c.m[i][j]+=a.m[i][k]%MOD*b.m[k][j]%MOD;

            c.m[i][j]%=MOD;

        }

    }

    return c;

}



Matrix matrix_mod(Matrix a,LL k)

{

    Matrix p=a,ans=per;

    while(k)

    {

        if(k&1)

        {

            ans=multi(ans,p);

            k--;

        }

        k>>=1;

        p=multi(p,p);

    }

    return ans;

}



LL gcd(LL a,LL b)

{

    return b? gcd(b,a%b):a;

}



void Loop(LL n)

{

    double k=sqrt(n*1.0);

    LL q=1,p=(LL)k,tmp=1;

    double first=k-p;

    while(1)

    {

        tmp=q;

        q=n-p*p;

        LL G=gcd(tmp,q);

        q/=G;tmp/=G;

        k=(sqrt(1.0*n)+p)*tmp/q;

        a[cnt++]=(LL)k;

        p=abs(p-a[cnt-1]*q);

        if(fabs(k-a[cnt-1]-first)<eps) break;

    }

}



int main()

{

    LL n,k,p,q,x,y;

    Matrix ans1,ans2,ans3,A;

    while(cin>>n>>k)

    {

        k++;

        cnt=0;

        Loop(n);

        ans1=ans2=per;

        A.m[0][1]=1;

        A.m[1][0]=1;

        A.m[1][1]=0;

        for(int i=cnt-1;i>=0;i--)

        {

            A.m[0][0]=a[i];

            ans1=multi(ans1,A);

        }

        x=k%cnt;

        y=k/cnt;

        ans1=matrix_mod(ans1,y);

        for(int i=x-1;i>=0;i--)

        {

            A.m[0][0]=a[i];

            ans2=multi(ans2,A);

        }

        ans3=multi(ans2,ans1);

        p=ans3.m[1][0]%MOD;

        q=ans3.m[1][1]%MOD;

        LL tmp=q; q=p;

        p=((LL)sqrt(n*1.0)%MOD*p%MOD+tmp)%MOD;

        cout<<p<<"/"<<q<<endl;

    }

    return 0;

}