【模板】差分约束算法(两种方法)

【模板】差分约束算法 ⁡ \operatorname{【模板】差分约束算法}

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题目

给出一组包含 m m m 个不等式,有 n n n 个未知数的形如:
【模板】差分约束算法(两种方法)_第1张图片

的不等式组,求任意一组满足这个不等式组的解。

输入

第一行为两个正整数 n , m n,m n,m,代表未知数的数量和不等式的数量。

接下来 m m m 行,每行包含三个整数 c , c ′ , y c,c',y c,c,y,代表一个不等式 x c − x c ′ ≤ y x_c-x_{c'}\leq y xcxcy

输出

一行, n n n 个数,表示 x 1 , x 2 ⋯ x n x_1 , x_2 \cdots x_n x1,x2xn 的一组可行解,如果有多组解,请输出任意一组,无解请输出 NO

样例输入

3 3
1 2 3
2 3 -2
1 3 1

样例输出

5 3 5

样例解释

在这里插入图片描述
一种可行的方法是 x 1 = 5 , x 2 = 3 , x 3 = 5 x_1 = 5, x_2 = 3, x_3 = 5 x1=5,x2=3,x3=5
在这里插入图片描述

数据范围

对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ n , m ≤ 5 × 1 0 3 1\leq n,m \leq 5\times 10^3 1n,m5×103 − 1 0 4 ≤ y ≤ 1 0 4 -10^4\leq y\leq 10^4 104y104 1 ≤ c , c ′ ≤ n 1\leq c,c'\leq n 1c,cn c ≠ c ′ c \neq c' c=c

评分标准

你的答案符合该不等式组即可得分,请确保你的答案中的数据在 int 范围内。

如果并没有答案,而你的程序给出了答案,SPJ 会给出 There is no answer, but you gave it,结果为 WA;
如果并没有答案,而你的程序输出了 NO,SPJ会给出 No answer,结果为 AC;
如果存在答案,而你的答案错误,SPJ 会给出 Wrong answer,结果为 WA;
如果存在答案,且你的答案正确,SPJ 会给出 The answer is correct,结果为 AC。

思路

一道模板题。

差分约束就是给你许多不等式,你要在这些约束下,找到一组解。
我们来看不等式: x 1 − x 2 ≤ y 1 x_1-x_2\leq y_1 x1x2y1

这时候有两个选择:
(代码我写的是最长路的,因为最短路代码没有太大区别,我就直接在要改的地方加注释)

最长路

我们可以把它化成这个式子: x 2 ≥ x 1 − y 1 x_2\geq x_1-y_1 x2x1y1

我们再想一想最长路,可以发现最后求出来的 d i s [ y ] ≥ d i s [ x ] + w x , i dis[y]\geq dis[x]+w_{x,i} dis[y]dis[x]+wx,i。( w x , i w_{x,i} wx,i 就是从 x x x y y y 的每一条边)
诶?怎么跟上面的式子那么像!
(边权可以是 − y 1 -y_1 y1

那其实我们就可以按这样建图,然后跑最长路,可以发现没有解就是存在正环的情况。

当然为了避免不连通,我们还弄一个超级源点,连向所有点,距离为 0 0 0

最短路

当然,我们还能化成这个: x 1 ≤ x 2 + y 1 x_1\leq x_2+y_1 x1x2+y1

当然就是和最短路匹配了,没有解就是存在负环,当然也要弄源点。

代码(最长路)

#include
#include
#include

using namespace std;

struct node {
	int x, to, next;
}e[50001];
int n, m, a, b, c, d, le[50001], dis[50001], kk, num[50001];
bool in[50001];

void add(int x, int y, int z) {
	e[++kk] = (node){z, y, le[x]}; le[x] = kk;
}

bool spfa() {
	queue <int> q;
	q.push(0);
	in[0] = 1;
	num[0]++;
	
	while (q.size()) {
		int now = q.front();
		q.pop();
		
		for (int i = le[now]; i; i = e[i].next)
			if (dis[now] + e[i].x > dis[e[i].to]) {
			//if (dis[now] + e[i].x < dis[e[i].to]) {(最短路把大于号改成小于号)
				dis[e[i].to] = dis[now] + e[i].x;
				if (!in[e[i].to]) {
					in[e[i].to] = 1;
					num[e[i].to]++;
					if (num[e[i].to] == n) return 0;//判断正环(最短路就是负环)
					q.push(e[i].to);
				}
			}
		
		in[now] = 0;
	}
	
	return 1;
}

int main() {
	memset(dis, -0x7f, sizeof(dis));
	//memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));(最短路把符号去掉)
	dis[0] = 0;//初始化
	
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
		add(a, b, -c);//建图
		//add(b, a, c);(最短路就这样建图)
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)//连超级源点
		add(0, i, 0);
	
	if (!spfa()) printf("NO");//有正环,就没有解(最短路是负环)
		else {
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				printf("%d ", dis[i]);//输出
		}
	
	return 0;
}

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