差分约束系统

 

 

训练地址

 

先总结下：
第一：
感觉难点在于建图

第二：
①：对于差分不等式，a - b <= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最短路，得到的是最大值
②：对于不等式 a - b >= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最长路，得到的是最小值
③：存在负环的话是无解
④：求不出最短路（dist[ ]没有得到更新）的话是任意解

第三：
一种建图方法：
设x[i]是第i位置（或时刻）的值（跟所求值的属性一样），那么把x[i]看成数列，前n项和为s[n]，则x[i] = s[i] - s[i-1]；
那么这样就可以最起码建立起类似这样的一个关系：0 <= s[i] - s[i-1] <= 1;
其他关系就要去题目探索了

以上转载于这里

 

 

第一题意:

　　 输入n个学生和m个比较关系：a，b，c表示学生a认为学生b得到的糖果不能比他多c。问你学生1和学生n之间糖果数量最大是多少？

　　分析：直接按b-a<=c来建图即可。

第二题意：

　　给你一个序列的起点 Si 和序列的长度ni，以及他们的区间和与给定的数 ki 的大小关系，然后问你是否存在这样的关系？

　　分析：(1) 给的不是序列的起点和终点，而是起点和序列长度，所以区间为 [Si, Si+n]，这里容易出错。

　　　　　(2) 要把 > 和 < 关系，通过 Ki-1 变为 <= 和 >= 的关系。

　　　　    (3) S_i +S_i+1+.....+ S_i+n  < k_i  可转化为 Sum(i+n) - Sum(i-1) < K_i 从而满足差分约束系统。

　　　　　(4) 题目中没有指明源点，故设置n+1为超级源点，从超级源点跑spfa即可。

 

 1 tot = 0;

 2 _Clr(head, -1);

 3 while(m--)

 4 {

 5     scanf("%d%d%s%d", &a, &b, p, &c);

 6     if(p[0]=='g')

 7         Add_edge(a+b, a-1, -c-1);

 8     else

 9         Add_edge(a-1, a+b, c-1);

10 }

11 int S = n+1;

12 for(int i=0; i<=n; i++)

13     Add_edge(S, i, 0);

 

 

 

第三题意：

　　给你n个整数区间 [a,b]。让你找一个最小的集合Z，使得Z与每个区间的交集都至少有两个不同的元素。问你Z的大小最小是多少？

　　分析： 用Si表示区间[0, i]的整数个数，由题可知，任一个区间 [a, b] 最少应包含两个元素;即 Sb-Sa-1>=2 。

　　　　　还有一个隐含条件：因为是整数区间，那么任一相邻的两个区间Si和Si-1满足关系：0 <= Si-Si-1 <= 1。

　　　　　还要添加一个源点，让你求最小值，所以求最长路即可。

 1 tot = 0;

 2 _Clr(head, -1);

 3 while(m--)

 4 {

 5     scanf("%d%d", &a, &b);

 6     Add_edge(a, b+1, 2);

 7     n = max(n, b+1);

 8 }

 9 S = n+3;   // 源点S=n+2也是一样的

10 for(int i=0; i<n; i++)

11 {

12     Add_edge(i+1, i, -1);

13     Add_edge(i, i+1, 0);

14     Add_edge(S, i, 0);

15 }

 

第四题意：

　　和上提基本一样，就是交集不再为2，而是 ci，起点和终点是整个区间的最左边的点和最右边的点。

 1 tot = 0;

 2 _Clr(head, -1);

 3 for(int i=0; i<n; i++)

 4 {

 5     scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

 6     Add_edge(a, b+1, c);

 7     st = min(a, st);

 8     ed = max(b+1, ed);

 9 }

10 for(int i=st; i<=ed; i++)

11 {

12     Add_edge(i, i+1, 0);

13     Add_edge(i+1, i, -1);

14 }

第五题意：

　　有n头奶牛排成一队，他们都喜欢尽量和关系好的靠的进些，和关系坏的离的远些（允许多个奶牛站在同一个点）。ml个友好关系 a，b，d表示a，b之间最远只能隔d; 和md个反感关系 a，b，d表示a，b之间至少要相隔d。问你奶牛1和奶牛n之间的最大距离是多少？如果无法排成一队输出-1，如果他们之间可以无限大则输出-2。

　　分析：用 Si 表示 i 和 1 之间的距离，那么建图关系已经很明显了，不过，还有一个比较隐含的条件：Si-Si-1>=0。因为相邻两个之间可以站同一个位置。

 1 tot = 0;

 2 _Clr(head, -1);

 3 for(int i=0; i<ml; i++)

 4 {

 5     scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

 6     Add_edge(a, b, c);

 7 }

 8 for(int i=0; i<md; i++)

 9 {

10     scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

11     Add_edge(b, a, -c);

12 }

13 for(int i=1; i<=n; i++)   // 不过，去掉这个隐含条件也能AC。唉.....

14     Add_edge(i+1, i, 0)

第六题意：

还不会做，先留着。。。。。

 

第七题意：

　　n个岗哨，m个信息。信息有两个格式：P A B X 表示岗哨 A 在岗哨 B 北边 X 光年处；V A B 表示岗哨 A 在岗哨 B 北边至少 1 光年处。然后，让你确定这m条信息是否是可靠的或不可靠的？

　　分析： 用 S(i) 表示岗哨 i 在岗哨 S 北边的距离。那么对于P A B X就有 S(A) - S(B) = X；可以转化为：S(A)-S(b)>=X && S(A)-S(B)<=X 来建图。

 　　　　　S 是自己设立的源点。

 1 tot = 0;

 2 _Clr(head, -1);

 3 while(m--)

 4 {

 5     scanf(" %c%d%d", &p, &a, &b);

 6     if(p=='P')

 7     {

 8         scanf("%d", &c);

 9         Add_edge(b, a, c);

10         Add_edge(a, b, -c);

11     }

12     else

13         Add_edge(a, b, -1);

14 }

15 for(int i=1; i<=n; i++)

16     Add_edge(0, i, 0);

第八题意：

　　有个忍者在一排树上联系跳跃，他严格的按照树的高度从矮到高的顺序跳，但是他跳的距离有个限制 D。问你最矮的树和最高的树之间的最长距离是多少？

　　分析：有一个需要的注意就是他是从左往右跳的还是从右往左跳的？还有一个隐含限制条件：每棵树都是在一个整数点，也就是两颗树之间距离最近为1，即 Si-Si-1>=1。

 1 tot = 0;

 2 _Clr(head, -1);

 3 for(int i=1; i<=n; i++)

 4 {

 5     scanf("%d", &tree[i].h);

 6     tree[i].id = i;

 7 }

 8 sort(tree+1, tree+n+1);

 9 for(int i=1; i<n; i++)

10 {

11     int u = tree[i].id;

12     int v = tree[i+1].id;

13     if(u > v)    // 从左往右跳

14         Add_edge(v, u, d);

15     else     // 反之。

16         Add_edge(u, v, d);

17     Add_edge(i+1, i, -1);    // 相邻两课树不能在同一个位置。

18 }

19 int st=tree[1].id, ed=tree[n].id; // 找到最矮的树和最高的树的位置