线性方程组

多元一次联立方程式（A system of linear equations）

这是一个多元方程式，其中 为变量（variables），相对应的 2,3,4 为系数（coefficients），结果 5 为常数项（constant term）。如果我们将多个多元方程式写到一起，就叫作多元联立方程式：

我们可以用更通用的写法表示：

其中，有 个方程式和对应的 个结果（），每个方程式中有 个变量（）和其对应的 个系数，每个方程式的变量相同但系数不同。

术语（Terminology）

• 定义域（Domain）
  给定一个函数 f，所有 f 可能的输入的集合就叫做定义域

• 对应域（Co-domain）
  所有函数 f 可能的输出的集合就叫做对应域

• 值域（Range）
  所有函数 f 真正可以输出的集合就叫做值域，值域是对应域的子集。

举个例子， 的定义域为所有的实数，对应域为所有实数，值域为 0 及正数。

• 一对一（One to one）

定义域和对应域各自只有一个值互相对应，所以定义域和对应域是一样大的。

• 映射（Onto）

定义域有多个值与对应域对应，所以对应域是和值域一样大的。

线性系统（Linear System）

线性系统特征：

• Persevering Multiplication
  如果一个线性系统输入为 ，输出为 ，那么

• Persevering Addition
  如果一个线性系统输入为 ，输出为 ，另一个输入为 ，输出为 。那么输入 ，输出为

微分和积分也是线性的：

• Derivative
  表示一个函数，输入是另一个函数，而输出是输入函数的导数，假设输入 ，那么输出

• Integral
  假设输入是 ，那么输出是 ，输出代表输入函数 的函数曲线上点 到点 的面积之和。

线性系统和线性方程组

通常线性系统的输入是一个 维的向量，输出是一个 维的向量，我们可以把一个线性系统写成一个线性方程组。如图，我们把变量 当做是线性系统的输入，把常数项 当做线性系统的输出，可以发现，把输入 乘以 倍，输出也会增加 倍。同理把 增加 ，输出等于两个 的输出之和，所以可以得出，一个线性方程组就是一个线性系统，一个线性系统一定有其对应的线性方程组。

假设我们有一个线性系统，我们向其输入一个 维的向量，其中只有 ，其他值都为 0，，输入 次。

将每个向量都乘以一个变量

再将所有输入的向量相加并输入到线性系统，此时线性系统的结果等于所有线性系统输出之和。

参考

https://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1208956807