差分约束

这两天看POJ1201：intervals，看到很多别人的博客，据说要用差分约束的知识，于是各种搜索了一下。

 

差分约束主要用于解决形如xi-xj<dk这样的两两变量之间的小于不等式组。

把每个变量xi看成一个点i，构造图，每遇到一个不等式xi-xj<=dk，则在图中添加i点与j点之间的边长为dk的边，然后在图上运用最短路径算法，最后其实是相当于得到的是变量两两之间的限制条件，但是因为有等号，所以可以随便假设一个xi=1，则可以根据最短路径数组，得到一组可行解。

解释一下，为什么可以把这组不等式抽象为图，并应用最短路径算法：

1.图中的每一条边代表的是xi-xj<=dij，那么最短路径对边的优化条件是：如果dij+djk<dik，则更新dik。如果用不等式来解释的话，意思就是有这么三个不等式xi-xj<=dij; xj-xk<=djk; xi-xk<=dik; 那么将第一个不等式与第二个不等式相加，得到的结果是，xi-xk<=dij+djk，又因为dij+djk<dik，那么其实就相当于不等式xi-xk<=dik是没用的，因为有更严格的限制条件xi-xk<=dij+djk存在，故更新点i和点k边为dij+djk。

2.这样一步一步地优化两点间的距离，直到是最短距离时，就意味着，此时的dij已经能够满足先前所有的不等式了。又因等号是成立的，所以最后求可行解的时候，只需要随便假设一个xi值，再根据dij,将xj = xi - dij，则求出的所有变量均满足不等式。

 

问题1：假设所有的不等式是xi-xj<dk呢？应当如何解决找到一组可行解？

因为存在一种现象：假设x1-x2<2;   x2-x3<2. 那么根据最短路径算出的结果得到的不等式是x1-x2<2;   x2-x3<2;   x1-x3<4；这三个不等式而已，如果我设 x1 = 5,  因为等号不成立，所以必然我需要设x2 = x1 - 2 + Δ ; 才能使不等式满足，此时每一次赋值的时候这个Δ应该怎么取，才能够使上面的结论依然成立？在上述的例子中，假设只根据x1的单源最短路径的结果来赋值的话，那么我为了满足不等式，我可以设置x1=5,x2=5,x3=2,这样的结果是第二个不等式不能满足了。如何解决这样的问题？Δ应该如何设置才能解决问题？

 

刚开始想到这个问题的时候，以为是什么不得了的问题，仔细想想，其实只要每一次赋值的Δ取一样的值，就不会改变给其他的变量赋值时的不等关系。  

 

问题2：以及假设不等式x1-x2<=1与x2-x1<=2两个不等式同时存在，问题应该如何解决？

想到这个问题的时候，才突然发觉，根据不等式的有向性，这个图建立的时候就应该是一个有向图。。。

 

尽管现在想想，感觉自己想到的问题挺sb的，不过刚开始想到的时候感觉还是不错，加深了我对差分约束的理解。