尼姆博弈

尼姆博弈：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。（源自百度百科：http://baike.baidu.com/view/1946840.htm）

有一次公司组织的拓展活动中，拓展教练和我们玩儿起了这个游戏。当时推断应该有必胜的玩法，不过游戏时间有限，没有完全想明白其中道理。只是推导了几种必胜的局面，不过结局也是我们输多赢少。

在后来的日子里，偶尔也会想到这个问题，只是依旧没能推出来必胜的玩法。直到有一次研究一个位操作的算法时，在大脑中推理解决过程时，这个问题蹦了出来，就想到结合二进制位和之前推导出的几种必胜玩法，问题立刻解决了。回去网上查了下，原来已经有成熟的理论了，也就是开篇提到的尼姆博弈，对比下发现自己想的还是不够全面。

说这个之前，先说说另外一个小游戏。
小的时候学数数的时候，有一个数字游戏，就是两个小伙伴依次数数，每次只能递增数一到两个，谁数到 10（或者 100） 谁赢。当时年幼，没想明白，直到后来的某一天，才完全想明白这个问题。
必胜完法，就是在游戏一开头，通过某种策略，让游戏达到自己完全可控的状态。比如这里，如果你一开始拿走 1 个，这时就剩下 9 个，以后你每次都取到 3 的倍数多 1（也就是你让你们两个在这个一轮数数中的和为 3 ，而 3 这个总数是你一定可以达到的），最后就是必胜，这就是先手优势。
或者也这可这样倒推，如果我要拿到 10，那么我在上轮只要能拿到 7 ，在接下来无论对方说 1 或者 2 我都可以拿到 10，同理，只要我拿到 4 就必可拿到 7，拿到 1 就必可拿到 4 。因为每次的局面都是我必然可控的，第 1 手决定了接下来的操作。
奇怪的时，当时怎么就不会这些推理和归纳的简单的应用呢。
只要你能保证通过某种策略让局面完全在你的掌控之中，你就是先手必胜的。

回到上面的三堆物品上，当时我们的推导是对于像（0，1，1）（还剩两堆都是一个）这种情况是必胜的，继而（0，N，N）也是必胜的。像（1，2，3），（1，4，5）也是必胜的，因为这都可转化为前面的两种情况。
现在可以这样看，把物品的个数用二进制数来表示，这样你每次拿后，都是相应的在二进制中 1 的变化。举个例子，像（1，4，5）这样的，二进制表示就是
001
100
101
202 （这里的 2 表示相应的位上有 2 个 1）
这里只考查 1 的位置，看上面的最后一行 202，这不就是（0，N，N）形么？如此，推广开来，只要上面的二进制中所有的位上的 1 的个数为 2 （0 也可以），就是必胜的局面。也就是三个数异或结果为 0 。
反推的话， 情况也是类似，就是在上面的二进制位里进行 0 1 改变的过程。

在网上查找的时候，发现还有多种其它的类似的博弈游戏，这就是另外的话题了，感兴趣的可能参考维基百科（http://en.wikipedia.org/wiki/Nim）相关内容。