中国剩余定理

我们假设同余方程组所有的a_i都等于1，并且所有的m_i都互质，答案一定是x≡b(mod Пm_i)反之，对于一个合数n，假设我们有n=ab(其中a和b互质)。那么如果x mod n的值确定，x mod a和x mod b的值就都确定了。也就是说，我们有(x mod n)<=>(x mod a, x mod b)这样一组对应关系。换句话说，以合数n为模数考虑与以a和b为模数考虑是等价的。这个定理叫做中国剩余定理。其实中国剩余定理不是一个算法，就是思考一类问题的方法。

对于求解此类型的同余方程组：有公式：其中M_i=Пm_i/m_i ,t_i是M_i的逆元。其证明如下(其实我认为百度写的确实很清楚)：

首先，我们可以考察M_it_ia_i可知：M_it_ia_i≡a_i*1

而且我们也不难理解:

对任意的j∈{1,2,3,……n} M_it_ia_i≡0(mod m_j)

所以我们可以得到：

通过这个我们可以证明x是原方程组的一个解。另外，设x1,x2均为方程解则我们不难得出x1-x2≡0(mod mi)那么既然mi两两互质，这样就说明x1与x2之间差的一定是M=Пmi的整数倍，所以我们可以得到原方程组的解集:

证毕。我个人认为这个没什么代码可提供的，但如果一定要的话，那就给一到水的代码吧……是解上述类型同余方程组的(先声明，解同余方程组不止这一种方法)……

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int a[10000],m[10000],bigm[10000],t[10000];
 4 int main()
 5 {
 6     long long ans=0;
 7     int n,M=1;
 8     cin>>n;
 9     for(int i=1;i<=n;i++)
10     {
11         scanf("%d%d",&m[i],&a[i]);
12         M*=m[i];
13     }
14     for(int i=1;i<=n;i++)
15     {
16         int temp=1;
17         bigm[i]=M/m[i];
18         while(1)
19         {
20             if(temp*bigm[i]%m[i]==1)
21             {
22                 t[i]=temp;
23                 break;
24             }
25             temp++;
26         }
27     }
28     for(int i=1;i<=n;i++)
29     {
30         ans=ans+a[i]*t[i]*bigm[i];
31     }
32     cout<<ans%M;
33 }

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