(1)它是二叉查找树的改进，所以具有二叉查找树的有序性。
(2)对伸展树的操作的平摊复杂度是O(log2n)。
(3)伸展树的空间要求、编程难度非常低。
提到伸展树，就不得不提到AVL树和Read-Black树，虽然这两种树能够保证各种操作在最坏情况下都为logN，
但是两都实现都比较复杂。而在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。因此，我们可以重构树的
结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移
动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。这样，就能使得平摊复杂度为logN。
1、自底向上的伸展树
伸展操作Splay(x,S)是在保持伸展树有序性的前提下，通过一系列旋转操作将伸展树S中的元素x调整至树
的根部的操作。
在旋转的过程中，要分三种情况分别处理：
(1)Zig 或 Zag
(2)Zig-Zig 或 Zag-Zag
(3)Zig-Zag 或 Zag-Zig
1.1、Zig或Zag操作
节点x的父节点y是根节点。
1.2、Zig-Zig或Zag-Zag操作
节点x的父节点y不是根节点，且x与y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。
1.3、Zig-Zag或Zag-Zig操作
节点x的父节点y不是根节点，x与y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。
2、自顶向下的伸展树
在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，
我们可以构建自顶向下的伸展树。
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时
的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
(1)当前节点X是中树的根。
(2)左树L保存小于X的节点。
(3)右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：
2.1、Zig操作
如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移
动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就
是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值
越大。
2.2、Zig-Zig操作
这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右
子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）
移动到右树中。
2.3、Zig-Zag操作
这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的，然后变成上图右边所示的形状。此时，就
与Zag(与Zig相反)的情况一样了。
最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
2.4、示例：
下面是一个查找节点19的例子。在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了
根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中
的位置有关系。
3、实现
3.1、splay操作
代码tree_node * splay (int i, tree_node * t) {
tree_node N, *l, *r, *y;
if (t == NULL)
return t;
N.left = N.right = NULL;
l = r = &N;
for (;;)
{
if (i < t->item)
{
if (t->left == NULL)
break;
if (i < t->left->item)
{
y = t->left; /* rotate right */
t->left = y->right;
y->right = t;
t = y;
if (t->left == NULL)
break;
}
r->left = t; /* link right */
r = t;
t = t->left;
} else if (i > t->item)
{
if (t->right == NULL)
break;
if (i > t->right->item)
{
y = t->right; /* rotate left */
t->right = y->left;
y->left = t;
t = y;
if (t->right == NULL)
break;
}
l->right = t; /* link left */
l = t;
t = t->right;
} else {
break;
}
}
l->right = t->left; /* assemble */
r->left = t->right;
t->left = N.right;
t->right = N.left;
return t;
}
Rotate right(查找10)：
Link right：
Assemble：
Rotate left(查找20)：
Link left：
3.2、插入操作
代码 /*
**将i插入树t中,返回树的根结点(item值==i)
*/
tree_node* ST_insert(int i, tree_node *t) {
/* Insert i into the tree t, unless it's already there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node* node;
node = (tree_node *) malloc (sizeof (tree_node));
if (node == NULL){
printf("Ran out of space\n");
exit(1);
}
node->item = i;
if (t == NULL) {
node->left = node->right = NULL;
size = 1;
return node;
}
t = splay(i,t);
if (i < t->item) { //令t为i的右子树
node->left = t->left;
node->right = t;
t->left = NULL;
size ++;
return node;
} else if (i > t->item) { //令t为i的左子树
node->right = t->right;
node->left = t;
t->right = NULL;
size++;
return node;
} else {
free(node); //i值已经存在于树t中
return t;
}
}
3.3、删除操作
代码 /***从树中删除i,返回树的根结点
*/
tree_node* ST_delete(int i, tree_node* t) {
/* Deletes i from the tree if it's there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node* x;
if (t==NULL)
return NULL;
t = splay(i,t);
if (i == t->item) { /* found it */
if (t->left == NULL) { //左子树为空,则x指向右子树即可
x = t->right;
} else {
x = splay(i, t->left); //查找左子树中最大结点max,令右子树为max的右子树
x->right = t->right;
}
size--;
free(t);
return x;
}
return t; /* It wasn't there */
}
完整代码：
代码#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int size; //结点数量
#define NUM 20
typedef struct tree_node{
struct tree_node* left;
struct tree_node* right;
int item;
}tree_node;
tree_node* splay (int i, tree_node* t) {
tree_node N, *l, *r, *y;
if (t == NULL)
return t;
N.left = N.right = NULL;
l = r = &N;
for (;;)
{
if (i < t->item)
{
if (t->left == NULL)
break;
if (i < t->left->item)
{
y = t->left; /* rotate right */
t->left = y->right;
y->right = t;
t = y;
if (t->left == NULL)
break;
}
r->left = t; /* link right */
r = t;
t = t->left;
} else if (i > t->item)
{
if (t->right == NULL)
break;
if (i > t->right->item)
{
y = t->right; /* rotate left */
t->right = y->left;
y->left = t;
t = y;
if (t->right == NULL)
break;
}
l->right = t; /* link left */
l = t;
t = t->right;
} else {
break;
}
}
l->right = t->left; /* assemble */
r->left = t->right;
t->left = N.right;
t->right = N.left;
return t;
}
/*
**将i插入树t中,返回树的根结点(item值==i)
*/
tree_node* ST_insert(int i, tree_node *t) {
/* Insert i into the tree t, unless it's already there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node* node;
node = (tree_node *) malloc (sizeof (tree_node));
if (node == NULL){
printf("Ran out of space\n");
exit(1);
}
node->item = i;
if (t == NULL) {
node->left = node->right = NULL;
size = 1;
return node;
}
t = splay(i,t);
if (i < t->item) { //令t为i的右子树
node->left = t->left;
node->right = t;
t->left = NULL;
size ++;
return node;
} else if (i > t->item) { //令t为i的左子树
node->right = t->right;
node->left = t;
t->right = NULL;
size++;
return node;
} else {
free(node); //i值已经存在于树t中
return t;
}
}
/*
**从树中删除i,返回树的根结点
*/
tree_node* ST_delete(int i, tree_node* t) {
/* Deletes i from the tree if it's there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
tree_node* x;
if (t==NULL)
return NULL;
t = splay(i,t);
if (i == t->item) { /* found it */
if (t->left == NULL) { //左子树为空,则x指向右子树即可
x = t->right;
} else {
x = splay(i, t->left); //查找左子树中最大结点max,令右子树为max的右子树
x->right = t->right;
}
size--;
free(t);
return x;
}
return t; /* It wasn't there */
}
void ST_inoder_traverse(tree_node* node)
{
if(node != NULL)
{
ST_inoder_traverse(node->left);
printf("%d ", node->item);
ST_inoder_traverse(node->right);
}
}
void ST_pre_traverse(tree_node* node)
{
if(node != NULL)
{
printf("%d ", node->item);
ST_pre_traverse(node->left);
ST_pre_traverse(node->right);
}
}
void main() {
/* A sample use of these functions. Start with the empty tree, */
/* insert some stuff into it, and then delete it */
tree_node* root;
int i;
root = NULL; /* the empty tree */
size = 0;
for(i = 0; i < NUM; i++)
root = ST_insert(rand()%NUM, root);
ST_pre_traverse(root);
printf("\n");
ST_inoder_traverse(root);
for(i = 0; i < NUM; i++)
root = ST_delete(i, root);
printf("\nsize = %d\n", size);
}
总结一下刚学习的平衡树(splay树):
平衡树的由来:
伸展树是平衡二叉树的一种。普通的二叉搜索树在一些特殊数据下会退化成链状，不能保证均
摊O(nlogn)的复杂度，平衡二叉树则通过一些条件下的旋转操作保证了O(nlogn)的复杂度；而
Splay则通过其特殊的伸展（Splay）操作保证了均摊复杂度为O(nlogn).
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精髓:
1) 旋转操作
2) 伸展操作
3) 进阶操作(插入，删除,求第ｋ大(小)元素)
1).旋转操作的重要性: 旋转操作保证了splay的均摊复杂度O(nlogn).
分为:
ZIG(x):右旋.
ZAG(y):左旋.
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右旋:
右旋的条件: 所旋转的结点ｘ是其父亲结点ｙ的左儿子.
所需修改:
1) X父亲结点y的左子树指针: 修改为X结点的右子树.
2) X结点的父亲指针：修改为ｙ结点的父亲.
3) X结点的右子树指针：修改为ｙ结点。
4) 附加域的修改，cnt[x](以ｘ为根子树的结点数目)
cnt[y] = cnt[y] – cnt son[y][1] ] + cnt[ son[x][2] ];
cnt[x] = cnt[x] – cnt[ son[x][2] ] + cnt[y];
其中son[y][1]是ｙ结点的左子树指针，son[x][2]是ｘ结点右子树指针.
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左旋:
左旋的条件: 所旋转的结点ｘ是其父亲结点ｙ的右儿子.
所需修改:
1) ｘ父亲结点ｙ的有子树指针: 修改为X结点的左子树.
2) X结点的父亲指针:修改为ｙ结点的父亲
3) X结点的左子树指针:修改为y结点。
5) 附加域的修改，cnt[x](以ｘ为根子树的结点数目)
cnt[y] = cnt[y] – cnt son[y][2] ] + cnt[ son[x][1] ];
cnt[x] = cnt[x] – cnt[ son[x][1] ] + cnt[y];
4) 其中son[y][2]是ｙ结点的右子树指针，son[x][1]是ｘ结点左子树指针
分析得出:
左旋和右旋是对称的,它们旋转以后得到的二叉树是二叉排序树。
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伸展操作:
对于splay(x, y)：表示旋转ｘ，使得y的左儿子(datax[x] < data[y])或者右儿子(data[x] > data[y])是
ｘ，其中ｙ是以ｙ为根的splay树的树根.
伸展操作是Splay的精髓，也是Splay维护平衡的关键（如果没有Splay操作，伸展树就无法保证O(nlogn)
的均摊复杂度）。伸展操作仅仅用到了两种Rotate的简单组合——组合出的四种新操作称作ZIG-ZAG，
ZAG-ZIG，ZIG-ZIG与ZAG-ZAG，加上原先的ZIG和ZAG，总共六种操作
牢记左旋和右旋的条件.
重新定义x, y, z.
X是需要旋转的结点，ｙ是ｘ的父亲，ｚ是ｙ的父亲.
如果x的父亲结点已经是树根了, 根据条件旋转x.
否则
如果ｘ，ｙ，ｚ在一条直线上，先根据条件旋转ｘ，接着根据条件再次旋转ｘ。
如果x, y, z在一条折线上，先根据条件旋转ｙ，接着根据条件旋转ｘ。
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插入操作:
insert(w, j):表示在j结点位置插入关键域w.
首先要找到插入j结点的父亲结点的位置i.还要保证结点j不在splay树中。
对于Splay来说，插入操作和其它平衡二叉树没有什么太大的区别，唯一的不同就在于插入操作之后
需要将刚插入的结点伸展到根最后将j结点调整到树根.
删除操作:
Splay有一种很特别的删除操作，但Splay也支持普通平衡二叉树的删除操作，因为Splay没有严格维护
平衡的条件，所以可以对它进行任何其它平衡二叉树上的操作。但是，Splay的特殊删除操作更美妙，
更简便，更易于理解。
如果忽略一些繁琐的边界条件，那么删除结点x的整个过程可以被描述为这样： 定义y为x的前驱结点。
实际应用中还要考虑这样几种情况：
1. ｘ没有左右子树,说明splay中只有x，将x删除即可.
2. x没有左子树，有右子树，将树根修改为ｘ的右子树,然后删除x.
3. 首先，splay(y,x)
然后,修改y的右子树指针为x的右子树
如果ｘ的右子树不为空，将其父亲指针修改为ｙ。
将树根修改为ｙ，并且将ｘ从splay中删除，更新ｙ结点的其它域.
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求第ｋ大(小)元素：
求第k小元素:从根结点开始递归进行在当前子树查找第k小操作：如果当前结点的左子树大小大于等
于k，那么在左子树查找第k小的数；如果k大于左子树大小加1，那么在右子树查找第k-(左子树大小
+1)小的数；否则k一定等于左子树大小加1，此时返回当前结点编号
转自：http://hi.baidu.com/ercongmuming/item/859b7accaff753374594162e