分治法

分（divide）：递归解决较小的问题

治（conquer）：从子问题的解构建原问题的解

一般认为正文中至少含有两个递归调用才叫分治，只包含一个递归的不叫分治。一般认为子问题是不相交的。

方程的解为：

整数相乘

求两个N位数X和Y的乘积，手算需要进行次乘法，即把两个个位数相乘看作基本操作的话，算法复杂度为。X=12345678，Y=87654321，求XY。X_L=1234，X_R=5678，Y_L=8765，Y_R=4321。X=X_L10⁴+X_R，Y=Y_L10⁴+Y_R

所以：

需要进行4次4位数的乘法，乘以10⁸只是一些补0操作，再加上几次加法构成了。

由（1）式得，此时算法没有得到改进。

注意到，所以在计算出后，只需要再进行一次乘法就能计算出。

当两个数都是1位时可以通过查表进行乘法。

实际上上述方法在实际中很少用，对于小的N开销大，对于大的N还存在更好的一些算法，它们也广泛利用了分治算法。

矩阵乘法

一个N×N的矩阵乘法变成了8个N/2×N/2的矩阵乘法和4个N/2×N/2的矩阵加法，加法的复杂度为。

由（1）式得

看来矩阵分块后再进行乘积并没带来复杂度的降低。

Strassen使用了类似于整数乘法的分治策略。

　　计算7个N/2×N/2阶矩阵的乘法

然后

由（1）式得

当然要考虑N不是2的整次幂的情况。在N不是很大时Strassen算法不如矩阵直接相乘，它也不能推广到稀疏矩阵，而且不易并行化。当用浮点项运算时，在数值上不如经典算法稳定。算法稳定性是指：舍入误差在算法计算过程中是可控的。