同余定理
所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。
定义：
数学上的记法为：
a≡ b(mod d)
可以看出当n<d的时候,所有的n都对d同商,比如时钟上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同商.
对于同余有三种说法都是等价的,分别为:
(1) a和b是模d同余的.
(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .
(3) d整除a-b.
可以通过换算得出上面三个说法都是正确而且是等价的.
定律：
同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4)a+b≡x+m （mod d）
5)a-b≡x-m (mod d)
6)a*b≡x*m (mod d )
7）a≡b（mod d）则a-b整除d
我们可以用一个圆上的点来表示具有相同余数的数。比如钟的盘面上的1点时数，表示所有余数为1的数。
应用：
下面来说说同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除。如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来。
如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：
10≡-1 （mod 11）
把上式两边都乘以各自，即：
10*10≡（-1）（-1）=1 (mod 11)
10*10*10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （mod 11）
10*10*10*10≡1 （mod 11）
我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数
如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+(-3)=0,因为0能被11整除，所以1353也能被11整除。其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可。
例题：
Description
WhereIsHeroFrom: Zty, what are you doing ?
Zty: I want to calculate N!......
WhereIsHeroFrom: So easy! How big N is ?
Zty: 1 <=N <=1000000000000000000000000000000000000000000000…
WhereIsHeroFrom: Oh! You must be crazy! Are you Fa Shao?
Zty: No. I haven's finished my saying. I just said I want to calculate N! mod 2009
Hint : 0! = 1, N! = N*(N-1)!
Input
Each line will contain one integer N(0 <= N<=10^9). Process to end of file.
Output
For each case, output N! mod 2009
Sample Input
4
5
Sample Output
24
120
#include<stdio.h>
int main()
{
int x,i,s;
while (~scanf("%d",&x))
{
s=1;
if (x>=41)
s=0;
else
for (i=1;i<=x;i++)
{
s=i*s%2009;
}
printf("%d\n",s);
}
return 0;
}
//同余定理：a=b*c;则a mod(n）= b mod(n)*c mod(n);
人见人爱A^B
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 27172 Accepted Submission(s): 18551
Problem Description
求A^B的最后三位数表示的整数。
说明：A^B的含义是“A的B次方”
lnput
输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，由两个正整数A和B组成（1<=A,B<=10000），如果A=0, B=0，则表示输入数据的结束，不做处理。
Output
对于每个测试实例，请输出A^B的最后三位表示的整数，每个输出占一行。
Sample Input
2 3
12 6
6789 10000
0 0
Sample Output
8
984
1
Author
lcy
代码：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MOD 1000
using namespace std;
int a,b;
int pow ( int a , int b )
{
if ( b == 0 ) return 1;
int temp = pow ( a , b/2 );
if( b&1 ) return temp%MOD*temp%MOD*a%MOD;
else return temp%MOD*temp%MOD;
}
int main ( )
{
while ( ~scanf ( "%d%d" , &a , &b ) )
{
if ( !a && !b ) break;
printf ( "%d\n" , pow ( a , b ) );
}
}