hrbust 1430 神秘植物 [递推+矩阵快速幂]

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神秘植物

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Description
Leyni有一种神秘的植物，形状是一种“向上”三角形植物，每过一年，每个“向上”三角形植物会变成三个“向上”三角形植物和一个“向下”三角形植物，每个“向下”三角形植物会变成三个“向下”三角形植物和一个“向上”三角形植物。如下图：

Leyni想知道经过n年有多少个“向上”三角形植物。

Input
输入包含多组测试数据。

对于每组测试数据：

第1行，包含一个整数n (0 ≤ n ≤ 10^18)

处理到文件结束

Output
对于每组测试数据：

第1行，输出Leyni拥有多少个“向上”三角形植物。(MOD 1000000007)

Sample Input
1

2

Sample Output
3

10

Author
齐达拉图@HRBUST

这里先简单递推一下

序号	向上的三角形个数	向下的三角形个数
0	1	0
1	3	1
2	10	6
3	36	28

不难观察出规律 ，规律如下

.	递推公式
向上的三角	shang[i]=3*shang[i-1]+xia[i-1]
向下的三角	xia[i]=3*xia[i-1]+shang[i-1];

虽然观察出了本题的规律了
但是! 但是!! 但是!!!
观察input 题目说
n (0 ≤ n ≤ 10^18)
n (0 ≤ n ≤ 10^18)
n (0 ≤ n ≤ 10^18)

10^18次幂 先不说超时 光是数组也开不出来啊

怎么办呢 ??
仔细想想 用两个二维数组相乘的话 一个表示要乘的参数 一个用来存数据就能开出来了
数组如下

long long int a[2][2],c[2][2];

其中a用来存储数据 ，c用来存储要乘的参数 即如下

a[0][0]=1; a[0][1]=0;
a[1][0]=0; a[1][1]=0;

c[0][0]=3; c[0][1]=1;
c[1][0]=1; c[1][1]=3;

这样下来用矩阵的乘法就能求了

上述已经解决了 内存爆的情况 但是 时间上怎么优化呢
既然是矩阵 那自然可以用矩阵快速幂来优化 这样下来时间可是几何倍数的被优化

不懂矩阵快速幂的可以看这里 矩阵快速幂

时间 空间的优化都结束了 就可以A题了 ~~

附本题代码

#include<stdio.h>
int m=1000000007;
void mul(long long int a[2][2], long long int b[2][2])
{
 long long int c[2][2];
 int i, j, k;
 for(i=0;i<2;i++)
 {
 for(j=0;j<2;j++)
 {
 c[i][j]=0;
 for(k=0;k<2;k++)
 {
 c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%m;
 }
 }
 }
 for(i=0;i<2;i++)
 {
 for(j=0;j<2;j++)
 {
 b[i][j]=c[i][j];
 }
 }
}
long long int a[2][2], e[2][2];
void init()
{
 e[0][0]=3; e[0][1]=1;
 e[1][0]=1; e[1][1]=3;

 a[0][0]=1; a[0][1]=0;
 a[1][0]=0; a[1][1]=0;
}
void solve(long long int n)
{
 init();
 //n=n-1;
 while (n > 0)
 {
 if (n%2==1)
 {
 mul(e, a);
 }
 mul(e, e);
 n = n >> 1;
 }
 printf("%lld\n", a[0][0]);
}
int main()
{
 long long int n;
 while(~scanf("%lld", &n))
 {
 solve(n);
 }
 return 0;
}