【图论】强连通专题总结

强连通总结

定义：一个有向图中，一个图可以分成几个分支，每个分支的任意两个结点如果都有路径使得互相可达，那么称这个分支为强连通分支

现在要给一个有向图，求出强连通分支，可以利用Tarjan发明的算法

求出强连通分支之后，可以根据题目，把每个强连通分支进行缩点，缩点之后的图会变成一个有向无环图（DAG），就可以进行一些算法（如DP， 最短路，最小生成树之类的)

模板：

const int N = 505;

int n;
vector<Edge> g[N];

int pre[N], dfn[N], dfs_clock, sccn, sccno[N];
stack<int> S;

void dfs_scc(int u) {
	pre[u] = dfn[u] = ++dfs_clock;
	S.push(u);
	for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {
		int v = g[u][i].v;
		if (!pre[v]) {
			dfs_scc(v);
			dfn[u] = min(dfn[u], dfn[v]);
		} else if (!sccno[v]) dfn[u] = min(dfn[u], pre[v]);
	}
	if (pre[u] == dfn[u]) {
		sccn++;
		while (1) {
			int x = S.top(); S.pop();
			sccno[x] = sccn;
			if (x == u) break;
		}
	}
}

void find_scc() {
	dfs_clock = sccn = 0;
	memset(sccno, 0, sizeof(sccno));
	memset(pre, 0, sizeof(pre));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (!pre[i]) dfs_scc(i);
}

题目：

强连通的裸题：

1、判断是否是一个强连通图
裸题直接判断，还要注意是否都在一个连通块内，这个看找出来的强连通分支个数是不是1即可
2、强连通缩点后，保留点权（可以是分支点权总和，个数等等）
就在缩点的时候，不断出栈的一步进行小修改即可

HDU 1269 迷宫城堡 此题可用来验证模板 1类
POJ 3180 The Cow Prom 找强连通分量中元素个数大于1的个数 2类

与入度出度有关强连通：

1、加几条边使得图强连通：
先缩点，然后计算缩完的图入度为0和出度为0的点的个数，较大的那个必然是答案
要注意就是如果一开始就强连通，是要输出0的
2、从哪些点出发（或者说要放几个点），使得所有点都能走到

缩点后所有入度为0的点就是要放的位置
HDU 2767 Proving Equivalences 1类
HDU 3836 Equivalent Sets 1类
HDU 1827 Summer Holiday 2类
POJ 1236Network of Schools 1 + 2 类
POJ 2553 The Bottom of a Graph 这题是找出度为0的强连通分支
POJ 2186 Popular Cows 这题找有几个点是别的点都能到达的，注意判断出度为0的点大于1的时候，答案应该是0
POJ 2375Cow Ski Area 根据题意建模之后就是1类问题

强连通缩点后结合其他知识：

一般一些问题，如果是一个有向无环图可以解决的情况下，如果图变成可能有环的时候，就要考虑缩点，而缩点之后的点权根据题目而定，然后剩下就是在缩点之后的图上，去解决另外一个问题了

HDU 3072 Intelligence System 缩点之后跑最小树形图
HDU 3861 The King’s Problem 缩点之后跑二分图匹配最小路径覆盖
HDU 3639 Hawk-and-Chicken 缩点之后DP
POJ 2762 Going from u to v or from v to u? 缩点之后拓扑排序，判断图中不会出现分支
POJ 3160 Father Christmas flymouse 缩点之后DP（dag上的最长路）
POJ 3114Countries in War 缩点之后跑最短路
POJ 3592 Instantaneous Transference 根据题意建模，然后缩点之后DP

特殊：

有向仙人掌图判定：
HDU 3594 Cactus
就只要在找强连通分支过程中，如果出现了环，就把路径上的点值都+1，如果有一个时刻出现某一点值为2，那么肯定就不满足了，然后在判断一下是否在一个连通块内即可

POJ 1904 King's Quest
结合了二分图匹配的知识，把问题转化为强连通去解决