最短路径—flody

flody 算法的作者是罗伯特·弗洛伊德 。记得以前偶尔都能听到“弗洛伊德曾经说过。。。”的话，很好奇就百度了下，原来有多个名人都叫这名，哈哈，还有个弗洛伊德是研究心理学的。。西格蒙德·弗洛伊德

算法思路

用于解决任意两点间的最短路径的一种算法。算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。

基本思想可以通过一个类比来描述。两个城市之间的直达火车并不一定是最快的，有的时候通过转车，反而能缩短时间。

用于描述有向图结点关系的邻接矩阵的权重，可以理解两个结点之间的距离。如果不借助第三个节点，两节点之间的权重则可以认为是最短路径。但是往往，在借助第三个节点的情况下，能缩短最短路径。

如下是一个有向图的邻接矩阵：

• 如果不借助第三个节点，4 - 3 之间的最短路径就是12.
• 但是如果借助节点1， 那么 4 - 1 - 3的最短路径就变成了11.
• 如果继续借助节点2， 那么 4 - 1 - 2 - 3 的最短路径又变成了10.

可见，如果借助第三个节点，那么两个节点之间的最短路径是可能减小的。

那么如何用代码来表示上述过程呢？

if(arr[4][3] > arr[4][1] + arr[1][3] /*先从4到1，再从1到3 */) 
 arr[4][3] = arr[4][1] + arr[1][3];

修改为4~3可以借助任何一个节点。

for(k = 1; k < 4; k++) if(arr[4][3] > arr[4][1] + arr[1][3] /*先从4到1，再从1到3 */) 
 arr[4][3] = arr[4][1] + arr[1][3];

在针对任何两点之间的距离都可以借助第三个节点，那么代码可修改为

for(k = 1; k < 4; k++) for(i = 1; i < 4; i++) for(j = 1; j < 4; j++) if(arr[i][j] > arr[i][k] + arr[k][j] /*先从4到1，再从1到3 */) 
 arr[i][j] = arr[i][k] + arr[k][j];

完整测试代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define N 101

int city_n;        //城市的数量
int road_n;        //道路的数量
int minDis = -1;    //最短路程 -1 表示此数值无效 
int visited[N];     //已经路过的城市 
int edge[N][N];     //邻接矩阵 : -1 表示此路不通 
int city_tar;       //目标城市 

int main()
{
    cout << "输入城市数量 和 路的总数【eg ：5 8 总共5个城市 8条单向通道】" << endl;
    cin >> city_n >> road_n;

    // 初始化邻接矩阵
    memset(*edge, -1, 4 * N * (city_n+1));
    for (int i = 0; i <= city_n; i++)
    {
        edge[i][i] = 0; // 自己到自己的距离是0 
    }

    cout << "输入城市之间的道路情况【eg : 1 2 8 城市1到2的路程为8】" << endl;
    int city_s, city_d;  //路的起始城市，和 目的城市 
    int dis;    //距离 
    for (int i = 0; i < road_n; i++)
    {
        cin >> city_s >> city_d >> dis;
        edge[city_s][city_d] = dis;
    }

    // flody 算法 ： 依次借助1 - city_n 个城市作为中转站
    for (int k = 1; k <= city_n; k++)
    {
        for (int i = 1; i <= city_n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= city_n; j++)
            {
                if ( (edge[i][j] >= 0 && edge[i][k] != -1 && edge[k][j] != -1 && edge[i][j] > edge[i][k] + edge[k][j]) ||
                     (edge[i][j] == -1 && edge[i][k] != -1 && edge[k][j] != -1)
                    )
                {
                    edge[i][j] = edge[i][k] + edge[k][j];
                }
            }
        }
    }

    cout << "结果如下" << endl;
    for (int i = 1; i <= city_n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= city_n; j++)
        {
            cout << edge[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}