HDU 4609 3-idiots（组合数学+FFT）

Description
给出n个木棍的长度ai，问从中任意选取三个木棍能组成一个三角形的概率
Input
第一行为一整数T表示用例组数，每组用例第一行为一整数n表示木棍数量，第二行n个整数ai表示每根木棍的长度(T<=100,3<=n<=10^5,1<=ai<=10^5)
Output
对于每组用例，输出从n根木棍中随意选取三根木棍能组成三角形的概率
Sample Input
2
4
1 3 3 4
4
2 3 3 4
Sample Output
0.5000000
1.0000000
Solution
首先给a数组排序，考虑构造三角形的过程，每次选取ai作为当前要构造三角形的最长边，那么方案数为从不大于ai的边中选取两条边使得两条边的长度之和大于ai，所以首先解决如何统计两条边长度之和的问题，如果暴力枚举会超时，而若是首先统计每种长度的木棍数量num[i]，那么这个问题就转化为两个num序列的离散卷积，就可以用FFT得到，而得到的新num序列中包含一根木棍用两次的情况，所以首先把num[2*a[i]]–，而且对于选取两根不同木棍的情况在卷积中计算了两次，所以所有的num[i]要除以2，在以上操作之后我们已经得到了选取两根不同木棍的长度之和为i的情况数，对num序列求前缀和就可以得到两根木棍长度之和大于i的情况数sum[i]，对于每个ai，sum[len]-sum[a[i]]为两根木棍长度之和大于ai的情况数，但是这里面有一些不成立的情况如下
1.选取的两条边一条大于ai，一条小于ai，这样的情况有i*(n-i-1)种
2.选取的两条边均大于ai，这样的情况有(n-i-1)*(n-i-2)/2种
3.选取的两条边为ai和另一条边，即ai被用了两次，这样的情况有n-1种
所以对于每个ai，统计(sum[len]-sum[a[i]])-i*(n-i-1)-(n-i-1)(n-i-2)/2-(n-1)即为选取三根木棍组成三角形的情况数，除以所有的方案数tot=C(n,3)=n(n-1)*(n-2)/6即为要求的概率
Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;
#define maxn 444444
typedef long long ll;
#define PI acos(-1.0) 
struct complex
{
    double r,i;
    complex(double _r=0,double _i=0)
    {
        r=_r,i=_i;
    }
    complex operator +(const complex &b)
    {
        return complex(r+b.r,i+b.i);
    }
    complex operator -(const complex &b)
    {
        return complex(r-b.r,i-b.i);
    }
    complex operator *(const complex &b)
    {
        return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);
    }
};
void change(complex *x,int len)
{
    for(int i=1,j=len/2;i<len-1;i++)
    {
        if(i<j)swap(x[i],x[j]);
        int k=len/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k/=2;
        }
        if(j<k)j+=k;
    }
}
void fft(complex *x,int len,int sta)
{
    change(x,len);
    for(int m=2;m<=len;m<<=1)
    {
        complex Wn(cos(-sta*2*PI/m),sin(-sta*2*PI/m));
        for(int i=0;i<len;i+=m)
        {
            complex W(1,0);
            for(int j=i;j<i+m/2;j++)
            {
                complex x1=x[j],x2=W*x[j+m/2];
                x[j]=x1+x2,x[j+m/2]=x1-x2;
                W=W*Wn;
            }
        }
    }
    if(sta==-1)
        for(int i=0;i<len;i++)
            x[i].r/=len;
}
int T,n,a[maxn/4];
complex x[maxn];
ll num[maxn],sum[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            num[a[i]]++;
        }
        sort(a,a+n);
        int len1=a[n-1]+1,len=1;
        while(len<2*len1)len<<=1;
        for(int i=0;i<len1;i++)x[i]=complex(num[i],0);
        for(int i=len1;i<len;i++)x[i]=complex(0,0);
        fft(x,len,1);
        for(int i=0;i<len;i++)x[i]=x[i]*x[i];
        fft(x,len,-1);
        for(int i=0;i<len;i++)num[i]=(ll)(x[i].r+0.5);
        len=2*a[n-1];
        for(int i=0;i<n;i++)num[a[i]+a[i]]--;
        for(int i=1;i<=len;i++)num[i]/=2;
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=len;i++)sum[i]=sum[i-1]+num[i];
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            ans+=sum[len]-sum[a[i]];
            ans-=1ll*i*(n-i-1);
            ans-=1ll*(n-i-1)*(n-i-2)/2;
            ans-=n-1;
        }
        ll tot=1ll*n*(n-1)*(n-2)/6;
        printf("%.7lf\n",1.0*ans/tot);
    }   
    return 0;
}