[BZOJ2005][Noi2010]能量采集

[Noi2010]能量采集

Description
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失
Input
仅包含一行，为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

Solution

求2∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)−nm

关键在

∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)

用莫比乌斯反演

=∑i=1n∑j=1m∑d|i,d|jϕ(d)

=∑d=1nϕ(d)∑i=1n[d|i]∑j=1m[d|j]

=∑d=1nϕ(d)∗nd∗md

然后线性就可以做了

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x){
    x=0; T f=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    x*=f;
}

const int MaxN=100010;
int n,m,tot=0,prime[MaxN],phi[MaxN];
ll ans;
bool check[MaxN];

int main(){
    read(n);read(m);if(n>m)swap(n,m);

    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if (!check[i]){phi[i]=i-1; prime[++tot]=i;}
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if (i*prime[j]>n) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break;}
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int T=1;T<=n;T++)
        ans+=1ll*phi[T]*(1ll*n/T)*(1ll*m/T);
    printf("%lld\n",(ans<<1)-1ll*n*m);
    return 0;
}