二次剩余

三分钟学会简单二次剩余系列

对于 x^2 = d (mod p) 。。 （p 为奇质数）的二次模方程，我们有这么几个性质：

1、d^((p-1)/2) = 1 (mod p)  当且仅当 d 为 p 的二次剩余 （欧拉判别法。。证明哪都有）

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95

2、二次剩余 * 二次非剩余 = 二次非剩余；二次剩余 * 二次剩余 = 二次剩余；二次非剩余 * 二次非剩余 = 二次剩余 。。 （用欧拉判别法可证）

3、对于 p 的二次剩余系只有 (p-1)/2 个，即 1^2, 2^2 ... ((p-1)/2)^2 。。 （只需证他们两两不等即可，因为 (p-a)^2 = a^2 (mod p) 。。；证两两不等的话直接做减法即可）

4、对于给定的 d 和 p 求解一个二次剩余。。

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/10182281

简单来说就是找到一个 a 使得 w = a^2 - d 为 p 的二次非剩余（这里随机 a 就好，因为有二次非剩余有一半的概率出现）；然后 (a + sqrt(w)) ^ ((p+1)/2) 就是一个解。。这里带根号的乘法类似于复数域的乘法。。

这里在剩余系里引入了无理数，感觉有点不好理解，不过其实归根结底还是在 “剩余系” 里。。虽说无理数部分是不可替换的，但是无理数的系数部分仍旧是可以进行正常取模操作的。