poj 1222 EXTENDED LIGHTS OUT(高斯消元)
http://poj.org/problem?id=1222
先贴一个链接
http://blog.csdn.net/u013081425/article/details/24248247
枚举第一行的状态，进行试探，当最后一行都为0时，说明该方案可行。
另一种方法是高斯消元。
转载分析：这个游戏的名字叫做Lights Out。一个板子上面有MxN个按钮，按钮也是灯。每次按下一个按钮，这个按钮和它的上下左右相邻按钮将同时切换各自的亮灭状态。给你一个初始状态，请给出一种方法，按某些按钮，使得所有的灯都灭。
这个游戏有一些技巧：
1、按按钮的顺序可以随便。
2、任何一个按钮都最多需要按下1次。因为按下第二次刚好抵消第一次，等于没有按。
这个问题可以转化成数学问题。
一个灯的布局可以看成一个0、1矩阵。以3x3为例：
0 1 0
1 1 0
0 1 1
表示一个布局。其中0表示灯灭，1表示灯亮。
每次按下按钮（POJ1222）或者叫一个宿舍关灯（0998），可以看成在原矩阵上加（模2加，就是按位异或）上一个如下的矩阵：
0 1 0
1 1 1
0 1 0
上述矩阵中的1表示按下第2行第2列的按钮时，作用的范围。如果按左上角的按钮，就是：
1 1 0
1 0 0
0 0 0
我们记L为待求解的原始布局矩阵。A(i,j)表示按下第i行第j列的按钮时的作用范围矩阵。在上述例子中，
L=
0 1 0
1 1 0
0 1 1
A(1,1)=
1 1 0
1 0 0
0 0 0
A(2,2)=
0 1 0
1 1 1
0 1 0
假设x(i,j)表示：想要使得L回到全灭状态，第i行第j列的按钮是否需要按下。0表示不按，1表示按下。那么，这个游戏就转化为如下方程的求解：
L + x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = 0
其中x(i,j)是未知数。方程右边的0表示零矩阵，表示全灭的状态。直观的理解就是：原来的L状态，经过了若干个A(i,j)的变换，最终变成0:全灭状态。
由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成：
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L
这是一个矩阵方程。两个矩阵相等，充要条件是矩阵中每个元素都相等。将上述方程展开，便转化成了一个9元1次方程组：
简单地记做：AA * XX = LL
这个方程有唯一解：
x(1,1) x(1,2) x(1,3)
x(2,1) x(2,2) x(2,3)
x(3,1) x(3,2) x(3,3)
=
1 1 1
0 0 0
0 0 1
也就是说，按下第一行的3个按钮，和右下角的按钮，就
|
能使L状态变成全灭状态。
对于固定行列的阵列来说，AA矩阵也是确定的。是否存在解，解是否唯一，只与AA矩阵有关。对于唯一解的情形，只要将LL乘以AA的逆矩阵即可。具体求AA的逆矩阵的方法，可以用高斯消元法。 由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成： 将1式两边同时加上一个L矩阵就可以变成 A（1，1）把矩阵 转化为一个列向量，L也转化为一个列向量， 将sigma xi*Ai=Li 对应位置的值相等就可以建立方程组了 X1*A(1,1)1+X2*A(1,2)1+X3*A(1,3)1+…………X30*A(30,30)1=L1; mod 2 X1*A(1,1)2+X2*A(1,2)2+X3*A(1,3)2+…………X30*A(30,30)2=L2; mod 2 X1*A(1,1)3+X2*A(1,2)3+X3*A(1,3)3+…………X30*A(30,30)3=L3 mod 2 ……. ……. ……. X1*A(1,1)30+X2*A(1,2)30+X3*A(1,3)30+…………X30*A(30,30)30=L30; mod 2 其中A(i,j)k 表示列向量A中第K个元素 这里的*表示点乘，Xi取(1,0) +表示模2加法，所以在高斯消元的时候可以用^异或运算
首先，我们可以把6*5个灯组成的矩阵看成是一个1*30的向量a 。 然后，对于每一个开关 i ，我们也构造一个1*30的向量d（i），一个开关最多控制5个灯，其中开关状态改变则为1，不改变就为0，这样我们可以把30个开关的向量组成一个30*30的矩阵。 我们在构造一个30*1的向量ans，也就是我们要求的结果，ans[ i ]为1，表示需要按下第 i个开关，0表示不需要。这样ans*d=a（mod 2），（d 是30*30 的矩阵）就转化为解方程的问题了。 至于解方程，就没什么可说的了，就是用线代里面讲的方法就可以了。因为这里要模2，所以可以我们可以直接用计算机的异或运算。
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-12
#define PI acos(-1.0)
#define C 240
#define S 20
using namespace std;
int a[35][35];
int x[35];
int equ,var;
void init()
{
memset(x,0,sizeof(x));
memset(a,0,sizeof(a));
}
void Gauss()
{
int row,col,i,j;
row = col = 0;
while(row < equ && col < var)
{
for(i = row; i < equ; i++)
if(a[i][col] != 0)
break;
if(i != row)
{
for(j = col; j <= var; j++)
swap(a[row][j],a[i][j]);
}
if(a[row][col] == 0)
{
col++;
continue;
}
for(int i = row+1; i < equ; i++)
{
if(a[i][col] == 0) continue;
for(int j = col; j <= var; j++)
a[i][j] ^= a[row][j];
}
row++;
col++;
}
for(i = var-1; i >= 0; i--)
{
x[i] = a[i][var];
for(j = i+1; j < var; j++)
x[i] ^= (a[i][j]&&x[j]);
}
}
int main()
{
int test;
int num;
scanf("%d",&test);
for(int item = 1; item <= test; item++)
{
init();
for(int i = 0; i < 30; i++)
scanf("%d",&a[i][30]);
for(int i = 0; i < 5; i++)
{
for(int j = 0; j < 6; j++)
{
int num = i*6+j;
a[num][num] = 1;
if(i >= 1)
a[num-6][num] = 1;
if(i <= 3)
a[num+6][num] = 1;
if(j - 1 >= 0)
a[num-1][num] = 1;
if(j + 1 <= 5)
a[num+1][num] = 1;
}
}
equ = 30;
var = 30;
Gauss();
printf("PUZZLE #%d\n",item);
for(int i = 0; i < 30; i++)
{
if(i % 6 == 5)
{
printf("%d",x[i]);
printf("\n");
}
else
printf("%d ",x[i]);
}
}
return 0;
}
|