卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数,是 组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的 数列。由以 比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

目录

1简介

2原理

3应用

括号化
出栈次序
凸多边形三角划分
给定节点组成二叉树

4扩展

5C++应用

1简介编辑

卡特兰数又称卡塔兰数,英文名Catalan number,是 组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的 数列。由以 比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名,其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

2原理编辑

令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式 [1]
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式 [2]
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

3应用编辑

实质上都是递推等式的应用

括号化

矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n-1)种) [3]

出栈次序

一个 栈(无穷大)的 进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的 出栈序列? [4-5]
卡特兰数_第1张图片
常规分析
首先,我们设f(n)=序列个数为n的出栈序列种数。同时,我们假定,从开始到栈第一次出到空为止,这段过程中出栈的序数最大的是k。特别地,如果栈直到整个过程结束时才空,则k=n
首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列,其中一个是1~k-1,序列个数为k-1,另外一个是k+1~n,序列个数是n-k。
此时,我们若把k视为确定一个序数,那么根据 乘法原理,f(n)的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数,即选择k这个序数的f(n)=f(k-1)×f(n-k)。而k可以选1到n,所以再根据 加法原理,将k取不同值的序列种数相加,得到的总序列种数为:f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+……+f(n-1)f(0)。
看到此处,再看看卡特兰数的递推式,答案不言而喻,即为f(n)=h(n)= C(2n,n)/(n+1)= c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,……)。
最后,令f(0)=1,f(1)=1。
非常规分析
对于每一个数来说,必须进栈一次、出栈一次。我们把 进栈设为状态‘1’,出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位 二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于 出栈的操作数a(a≤b),因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位 二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位 二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位 二进制数,由于0的个数多2个,2n为 偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。
显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。
类似问题 买票找零
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出 栈)

凸多边形三角划分

在一个 凸多边形中,通过若干条互不相交的对角线,把这个多边形划分成了若干个 三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n,求不同划分的方案数f(n)。比如当n=6时,f(6)=14。 [6]
卡特兰数_第2张图片
分析
如果纯粹从f(4)=2,f(5)=5,f(6)=14,……,f(n)=n慢慢去归纳,恐怕很难找到问题的递推式,我们必须从一般情况出发去找规律。
因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形,所以我们以某一条边为基准,以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn(P即Point),将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn,再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk(2<=k&lt;=n-1),来构成一个三角形,用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形,其中一个凸多边形,是由P1,P2,……,Pk构成的凸k边形(顶点数即是边数),另一个凸多边形,是由Pk,Pk+1,……,Pn构成的凸n-k+1边形。
此时,我们若把Pk视为确定一点,那么根据 乘法原理,f(n)的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数,即选择Pk这个顶点的f(n)=f(k)×f(n-k+1)。而k可以选2到n-1,所以再根据加法原理,将k取不同值的划分方案相加,得到的总方案数为:f(n)=f(2)f(n-2+1)+f(3)f(n-3+1)+……+f(n-1)f(2)。看到此处,再看看卡特兰数的递推式,答案不言而喻,即为f(n)=h(n-2) (n=2,3,4,……)。
最后,令f(2)=1,f(3)=1。
此处f(2)=1和f(3)=1的具体缘由须参考详尽的“卡特兰数”,也许可从 凸四边形f(4)=f(2)f(3)+ f(3)f(2)=2×f(2)f(3)倒推,四边形的划分方案不用规律推导都可以知道是2,那么2×f(2)f(3)=2,则f(2)f(3)=1,又f(2)和f(3)若存在的话一定是整数,则f(2)=1,f(3)=1。(因为我没研究过卡特兰数的由来,此处仅作刘抟羽的臆测)。
类似问题
一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
在 圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

给定节点组成二叉树

给定N个 节点,能构成多少种不同的 二叉树? [7]
(能构成h(N)个)
(这个公式的下标是从h(0)=1开始的)

4扩展编辑

对于在n位的2进制中,有m个0,其余为1的catalan数为:C(n,m)-C(n,m-1)。证明可以参考标准 catalan数的证明。 [8]
问题1的描述:有n个1和m个-1(n>=m),共n+m个数排成一列,满足对所有0<=k&lt;=n+m的前k个数的部分和Sk > 0的排列数。 问题等价为在一个格点阵列中,从(0,0)点走到(n,m)点且不经过对角线x==y的方法数(x > y)。
考虑情况I:第一步走到(0,1),这样从(0,1)走到(n,m)无论如何也要经过x==y的点,这样的方法数为(( n+m-1,m-1 ));
考虑情况II:第一步走到(1,0),又有两种可能:
a . 不经过x==y的点;(所要求的情况)
b . 经过x==y的点,我们构造情况II.b和情况I的一一映射,说明II.b和I的方法数是一样的。设第一次经过x==y的点是(x1,y1),将(0,0)到(x1,y1)的路径沿对角线翻折,于是唯一对应情况I的一种路径;对于情况I的一条路径,假设其与对角线的第一个焦点是(x2,y2),将(0,0)和(x2,y2)之间的路径沿对角线翻折,唯一对应情况II.b的一条路径。
问题的解就是总的路径数 ((n+m, m)) - 情况I的路径数 - 情况II.b的路径数。
((n+m , m)) - 2*((n+m-1, m-1))
或: ((n+m-1 , m)) - ((n+m-1 , m-1))
问题2的描述:有n个1和m个-1(n>=m),共n+m个数排成一列,满足对所有0<=k&lt;=n+m的前k个数的部分和Sk >= 0的排列数。(和问题1不同之处在于此处部分和可以为0,这也是更常见的情况) 问题等价为在一个格点阵列中,从(0,0)点走到(n,m)点且不穿过对角线x==y的方法数(可以走到x==y的点)。
把(n,m)点变换到(n+1,m)点,问题变成了问题1。
方法数为:
((n+m+1, m)) - 2*((n+m+1-1, m-1))
或: ((n+m+1-1, m)) - ((n+m+1-1, m-1))

5C++应用编辑

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void catalan() //求卡特兰数
{
     int i, j, len, carry, temp;
     a[1][0] = b[1] = 1;
     len = 1;
     for (i = 2; i <= 100; i++)
     {
         for (j = 0; j < len; j++) //乘法
         a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
         carry = 0;
         for (j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
         {
             temp = a[i][j] + carry;
             a[i][j] = temp % 10;
             carry = temp / 10;
         }
         while (carry) //进位处理
         {
             a[i][len++] = carry % 10;
             carry /= 10;
         }
         carry = 0;
         for (j = len-1; j >= 0; j--) //除法
         {
             temp = carry*10 + a[i][j];
             a[i][j] = temp/(i+1);
             carry = temp%(i+1);
         }
         while (!a[i][len-1]) //高位零处理
         len --;
         b[i] = len;
     }
}



本文转自:http://baike.baidu.com/link?url=_egc27nC6_26fYXvo6g5a98E6jFCSYvGQxjsargJWzFqqBedLeZFCjkt1y0EzvpAH7izOJNoeHenuirQ_GZw8_

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