sgu 275 To xor or not to xor（高斯消元判断是否有解）

http://acm.sdut.edu.cn:8080/vjudge/contest/view.action?cid=180#problem/E

有n个数,范围是[0, 10^18]，n最大为100，找出若干个数使它们异或的值最大并输出这个最大值。

是一道高斯消元解题的好题。不过不是自己想的，跟实验室的小伙伴讨论了好久，才明白了大概。必须要mark一下。

首先求系数矩阵。由每个数的范围可以确定每个数转化成二进制以后最多有63位，那么我们构造一个63*100的矩阵，a[i][j]表示第j个数的第i个二进制位，因为我们想要结构最大，最后一列置为1，然后用高斯消元判断每一行即想要结果的每一位能不能取得1。

从高位向低位，判断每一行是否有可控制变元(是否有1)，如果有那么这一行可以取得1，同时从该行往下依次异或掉该列不为0的行，即异或掉该变元。如果没有可控制的变元，但是最后一列是0，该行结构也是1，若最后一列不为0说明该行结果为0。从高位向低位，每次确定了一位后，就更新ans的值，最后取得一个最大值。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-12
#define PI acos(-1.0)
#define C 240
#define S 20
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

int a[65][110];
int n;

void Gauss()
{
	int x;
	LL ans = 0;

	for(int i = 0; i < 63; i++)
	{
		x = -1;
		for(int j = 0; j < n; j++)
		{
			if(a[i][j])
			{
				x = j;  //找到一个可控制的变元
				break;
			}
		}
		//若没找到，但最后一列为0，该行结果是1
		if(x == -1 && a[i][n] == 0)
		{
			ans += (1ll<<(62-i));
		}
		//若找到了一个控制变元
		else if(x != -1)
		{
			ans += (1ll <<(62-i));
			//从该行一下异或该变元
			for(int j = i+1; j < 63; j++)
				if(a[j][x])
				{
					for(int k = 0; k <= n; k++)
						a[j][k] ^= a[i][k];
				}
		}
	}
	cout << ans << endl;
}

int main()
{
	LL x;
	scanf("%d",&n);
	memset(a,0,sizeof(a));

	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%lld",&x);
		for(int j = 0; j < 63; j++)
		{
			if(x & (1ll<<(62-j)) )
				a[j][i] = 1;
		}
	}

	for(int i = 0; i < 63; i++)
		a[i][n] = 1;

	Gauss();
	return 0;
}