poj 2480 Longge's problem（积性函数 & 欧拉函数）

http://poj.org/problem?id=2480

大意：求解 ∑gcd(i, N) 1<=i <=N。

对于最大公约数，它有这样的性质，gcd(n,m1*m2)=gcd(nm1)*gcd(n,m2)   比如gcd(6,12)=gcd(6,3)*gcd(6,4).

我们设f(N)=∑gcd(i, N)，那么它也应该是一个积性函数。（积性函数的积是积性函数，积性函数的和是积性函数）

设 其中p是和n互素的数字。

又设 ，由积性函数的性质：

      （*）

同时我们知道：

 欧拉函数有这样的计算方式：

所以得到：

带入（*）中：

写代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
    LL n,ans;
    while(cin>>n){
        int len=sqrt(n*1.0);
        ans=n;
        LL a=0,p=1;
        for(int i=2;i<=len;i++){
            a=0;
            if(n%i==0){
               a++;
               n/=i;
               p=i;
               while(n%i==0) {
                   a++;
                   n/=i;
               }
               ans=ans/p*(p+a*p-a);
            }
        }
        if(n>1){
            ans=ans/n*(n+n-1);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}