欧拉函数&&欧拉定理

定理内容：若整数a，n互质，则a^φ(n)≡1 (mod n)

要先知道：

性质1：φ(n)表示，在(1~n-1)中，与n互质的数的个数，φ(n)=n*(1-1/q)*…*(1-1/p),其中p，q均为能被n整除的质因子

证明1：假设n只有q和p两个质因子，那么显然在<=n的范围内，q和p的倍数都不与n互质，那么q的倍数有几个呢？n/q个，最多能除掉几个q就有几个q的倍数，那么p也同理，那么刨去pq的倍数显然剩下的只有和n互质的数，为什么呢，假设剩余的数中有一个数a与n不互质 ，那么令GCD(a,n)=c；显然，c如果是一个合数，那么它必定可以分解成几个质因子的连乘积，但是他又是n的因子，但n的质因子只有qp，所以显然a不存在，那么c如果是一个质数，他必定是n的质因子，那么a就肯定是q或p的倍数,所以剩下的数和n互质。但我们会发现我们在删倍数的时候，可能会出现一个情况就是q*p小于n那么这个p*q以及他的倍数会被删两遍，那么我们要把多删的加回来，如何加呢？算p*q在<=n的范围内有几个倍数就好了，那么当前φ(n)=n-n/q-n/p+n/（p*q），把n提公因式，得到φ(n)=n*（1-1/q）*(1-1/p)

性质2：将φ(n)列出来，得到φ(n)个数，这φ(n)个数在模n意义下不同余

证明2：令mi=a*xi,其中a与n互质，xi为φ(n)中的数，假设存在mi≡mj (mod n),那么mi-mj≡a*xi-a*xj ≡ 0 (mod n)，因为mi与mj同余，所以相减之后，多出来的余数就没啦，剩下的差一定能整除n，举例，6%5=1,11%5=1，（11-6）=5%5=0，所以同余于0，那么将(a*xi-a*xj)%n=0,a*(xi-xj)=0,因为a与n互质，所以不存在a%n=0，所以只能是xi-xj是n的倍数，但是因为xi，xjφ(n)个数在模n意义下不同余

性质3：令mi=a*xi,其中a与n互质，xi为φ(n)中的数，那么mi%n与n互质，且与其中a与n互质，mi%n属于φ(n)

证明3：令ri=mi%n，若ri与n不互质则GCD(ri,n)=d!=1,mi=p*n+q*ri,p，q为整数，因为ri与n为d的倍数，所以p*n+q*ri=c*d，c为整数，所以c*d=mi，因为xi和n互质，a与n互质，所以a*xi=mi与n互质，所以GCD(mi,n)=1,但因为GCD(c*d,n)!=1,所以前后矛盾，所以证得ri与n互质，然后一组mi的个数等于φ(n)，而且ri

证明定理：由性质2和3可得将mi%n排序必定对应着xi，所以由模意义下的乘法可得m1*m2*…*mφ(n)≡x1*x2*...*xφ(n) (mod n),因为mi=a*xi，所以将等式左边提公因式a，得到a^φ(n)*x1*x2*...*xφ(n)≡x1*x2*...*xφ(n) (mod n),我们令K=xi的连乘积，则a^φ(n)*K≡K (mod n),那么由性质二中的一些步骤同理过来，(a^φ(n)*K-K)%n=0,得出(a^φ(n)-1)*K ≡ 0 (mod n)，因为K是由与n互质的数连乘得到，则K必定与n互质，那么(a^φ(n)-1)%n=0,得出a^φ(n)≡1(mod n)

欧拉定理的推广性质: 当a，n互质且n为质数时，φ(n)=n-1，因为他本身和他不互质，则得到a^φ(n)=a^(p-1) ≡ 1 (mod m),显然这是费马小定理

欧拉函数的性质:   积性函数

性质1：若n=a*b，a和b互质，那么φ(n)=φ(a)*φ(b)

证明1：将a,b分解质因子，因为a,b互质，所以没有重复的质因子，根据欧拉函数的运算公式，直接可以得到性质1

性质2：任意n>1,1~n中与n互质的数个和为n*φ(n)/2

证明2：因为GCD(n,x)=GCD(n,n-x),所以与n不互质的数x，n-x会成对出现，平均值为n/2,所以总和为(n-φ(n))*(n/2)，所以与n互质的数的和就是n*n/2-(n-φ(n))*(n/2)=n*φ(n)/2

性质3：若p|n,( "|" 为整除),且p^2|n,则φ(n)=φ(n/p)*p

证明3：直接将φ(n)和φ(n/p)按欧拉函数公式写出，直接可得性质3

性质4：若p|n,( "|" 为整除),且p^2不整除n,则φ(n)=φ(n/p)*(p-1)

证明4：由性质条件可得，n与n/p，由性质1可得φ(n)=φ(n/p)*φ(p)，因为φ(p)=p-1,所以性质4得证

性质5：如果n为一个素数p的a次方，那么φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)

证明5：比p^a小的数有p^a-1个，那么有p^(a-1)-1个数能被p^a整除，这个数将比p^a小的数中p的倍数拿出即可得到，所以可以得到与n互质的数的个数是性质5

注：如有证明不对的地方请联系博主，线性筛欧拉函数会在后面的博文中给出