命题与联结词1.1

第一章 命题逻辑的基本概念

 

1.1命题与联结词

 

数理逻辑是研究推理的数学分支,推理由一系列的陈述句组成。因为3>2,所以3≠2。在这里“3>2”和“3≠2”是两个陈述句,整个“因为3>2,所以3≠2”也是一个陈述句。这3个陈述句都成立,即为真,这种非真即假的陈述句称为命题。作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值,真值只取两个值:真或假,真值为真命题称为真命题,真值为假的命题称为假命题,真命题表达的判断正确,假命题表达的判断错误.任何命题的真值都是惟一的。

命题“因为3>2,所以3≠2"由两个更简单的命题“3>2”和“3≠2”组成.“3>2”和“3≠2不能再分解成更简单的命题了·这种不能被分解成更简单的命题称为简单命题或原子命题,在命题逻辑中,简单命题是最小的基本单位,对它不再细分.但在各种论述和推理中,所出现的命题多数不是简单命题,如上面的“因为3>2,所以3≠2”.由简单命题通过联结词联结而成的命题,称为复合命题。

判断给定句子是否为命题,应该分两步:首先判定它是否为陈述句,其次判断它是否有惟一的真值。

例1.1判断下列句子是否为命题

1.  4是素数

1. √5是无理数
2. x大于y,其中x和y是任意的两个数
3. 火星上有水
4. 2050年元旦是晴天
5. π大于√2吗?
6. 请不要吸烟!
7. 这朵花真美丽啊!
8. 我正在说假话。

解 本题的9个句子中,(6)是疑问句,(7)是祈使句,(8)是感叹句,因而这3个句子都不是命题。剩下的6个句子都是陈述句,但(3)与(9)不是命题,(3)的真值不确定,根据x和y的不同取值情况它可真可假,即无惟一的真值,因而不是命题.(9)特别有意思,若(9)为真,即“我正在说假话”是真的,则我正在说真话,因而(9)的真值应为假,矛盾;反之,若(9)为假,即“我正在说假话”是假的,则我正在说假话,因而(9)的真值应为真,同样也矛盾.因而(9)既不能为真、也不能为假,故它也不是命题.像(9)这样由真能推出假、又由假能推出真,从而既不能为真、也不能为假的陈述句称为悖论.悖论不是命题

本例中,(1),(2),(4),(5)是命题.(1)为假命题,(2)为真命题.虽然至今还不知道火星上是否有水,但火星上是否有水是客观存在的,并且要么是有、要么是没有,只是现在人类还不知道而已。也就是说,(4)的真值是客观存在的,而且是惟一的,因此它是命题,根据同样的道理,(5)也是命题.作为命题,我们是否知道它的真值是不重要的,重要的是它有惟一的真值。

在本书中,用小写英文字母表示命题,用“1”表示真,用“0”表示假,于是命题的真值为0或我们用p,q,r,s分别表示例1.1中(1),(2),(4),(5)的命题

p: 4是素数

q: √5是无理数

r: 火星上有水

S: 2050年元旦是晴天

它们称为这些命题的符号化.其中p的真值为0,q的真值为1,r和s的真值现在还不知道.这4个命题都是简单命题.

例1.2先将下面各陈述句中出现的原子命题符号化,并指出它们的真值,然后再写出这些陈述：

1. √2是有理数是不对的
2. 2是偶素数
3. 2或4是素数
4. 如果2是素数,则3也是素数
5. 2是素数当且仅当3也是素数

解在(1)中“2是有理数”是原子命题;(2)一(5)中各有两个原子命题,它们分别是“2是素数”和“2是偶数”,“2是素数”和“4是素数”,“2是素数”和“3是素数”以及“2是素数”和“3是素数”.共有5个原子命题,将它们分别符号化为

p:√2是有理数

g:2是素数

r:2是偶数

s:3是素数

t:4是素数

p,t的真值为0,其余的真值为1.将原子命题的符号代入,上述各陈述句可表成：

1. 非p(P不成立);(2)q并且(与)r;(3)q或t;(4)如果q,则s;(5)q当且仅当这s

这5个命题都是复合命题,不妨称上述表述方式为半形式化的,这种半形式化的表述形式不能令人满意.数理逻辑研究方法的主要特征是将论述或推理中的各种要素都符号化,即构造各种符号语言来代替自然语言,我们称完全由符号所构成的语言为形式语言.为了达到这个目的,就要求进一步抽象化,即将联结词也符号化.在例1.2中出现的联结词有5个:“非”、“并且或”、“如果…,则…”、“当且仅当”,这些联结词是自然语言中常用的联结词.但自然语言中出现的联结词有的具有二义性,因而在数理逻辑中必须给出联结词的严格定义,并且将它们符号化 定义1.1设p为命题,复合命题“非p”(或“P的否定”")称为p的否定式,记作┐p.符号┐称作否定联结词,规定┐p为真当且仅当p为假

由定义可知,┐P的逻辑关系为p不成立,因而当P为真时,┐p为假;反之当p为假时┐p为真.

在例1.2中,“非符号化为┐P.由于p的真值为0,所以P的真值为1

定义1.2设p,q为两命题,复合命题“P并且q"(或“P与q")称为p与q的合取式,记作P^q.^称作合取联结词.规定p^q为真当且仅当p与q同时为真

由定义可知,P^q的逻辑关系为p与q同时成立,因而只有当p与q同时为真时,P^qオ为真,其他情况p^q均为假

在例1.2中,“q并且r”符号化为g^r.由于q与r的真值全为1,所以g^r的真值为1

使用联结词^需要注意两点:其一是^的灵活性.自然语言中的“既...，又...”,不但…,而且……”,“虽然…,但是...”，“一面…，一面...”等都表示两件事情同时成立,因而可以符号化为^.其二,不要见到“与”、“和”就使用联结词^,见下面的例子

例1.3将下列命题符号化:

1. 吴颖既用功又聪明
2. 吴颖不仅用功而且聪明.
3. 吴颖虽然聪明,但不用功
4. 张辉与王丽都是三好生
5. 张辉与王丽是同学

解先给出(1)到(4)中的原子命题,并将其符号化

P:吴颖用功

q:吴颖聪明

R:张辉是三好生

S:王丽是三好生

1. 到(4)都是复合命题,它们使用的词表面看来各不相同,但都是合取的意思,分别符号化为p^q,P^q,p^p,r^s
2. 在(5)中,虽然也使用了“与”,但这个“与”是联结该句主语中的两个人的,而整个句子仍是简单陈述句,所以(5)是原子命题,符号化为t:张辉与王丽是同学

定义1.3设p,g为两个命题,复合命题“p或q"称作p与q的析取式,记作pVq.V称作析取联结词.规定pVq为假当且仅当p与q同时为假

由定义可知,当p与q中有一个为真时,pVq为真.只有当p与q同时为假时,pVqオ为假

例1.2中,“q或t"符号化为qVt.由于q为真,所以qVt为真

以上定义的析取联结词V与自然语言中的“或”不完全一样.自然语言中的“或”具有二义性,用它有时具有相容性(即,它联结的两个命题可以同时为真),有时具有排斥性(即,只有当一个为真、另一个为假时,才为真),对应的分别称为相容或和排斥或

例1.4将下列命题符号化

1. 张晓静爱唱歌或爱听音乐
2. 张晓静只能挑选202或203房间
3. 张晓静是江西人或安徽人

解：先给出原子命题,并将其符号化,然后再将整个(复合)命题符号化

1. p:张晓静爱唱歌

q:张晓静爱听音乐

显然这个“或”为相容或,即当p与q同时为真时,这个命题为真.符号化为pVq

1. r:张晓静挑选202房间

s:张晓静挑选203房间

由题意可知,这个“或”应为排斥或.r,s的取值有4种可能:同真,同假,一真一假(两种).如果符号化为rVs,则当r和s都为真时为真,这意味着张晓静可能同时得到202和203两个房间，这不符合原意.原意是张晓静只能挑选202和203中的一间.如何达到只能挑选一个房间的要求呢?可以使用多个联结词,符号化为(r^┐s)V(┐r^s).不难验证,此复合命题为真当且仅当r,s中一个为真,一个为假,它准确地表达了原意.当r为真s为假时,张晓静得到202房间,r为假s为真时,张晓静得到203房间,其他情况下,都是不允许的

1. t:张晓静是江西人

u:张晓静是安徽人

这个“或”也应为排斥或.和上面一样,可以形式化为(t^┐u)V(┐t^u)但是,在这里张晓静不可能既是江西人又是安徽人,即t与实际上不能同时为真,因而也可以符号化为tVu

定义1.4设p,q为两个命题,复合命题“如果p,则q”称为p与q的蕴涵式,记作p→q,并称p是蕴涵式的前件,q为蕴涵式的后件.→称作蕴涵联结词.并规定p→g为假当且仅当p为真q为假

p→g的逻辑关系为q是P的必要条件

在例1.2中、“如果q,则s"应符号化为q→s.由于q与s的真值均为1,所以q→s的真值也为1.

在使用联结词→时要特别注意以下几点：

1. 在自然语言里,特别是在数学中,q是p的必要条件有许多不同的叙述方式,例如,“只要p就q”,“因为p,所以q",“P仅当q”,“只有qオp",“除非qオp",“除非q,否则非p"等.以上各种叙述方式表面看来有所不同,但都表示q是p的必要条件,因而都应使用→,符号化为p→q
2. 作为推理“如果p,则q"的形式化,当p为真q为真时,P→q显然为真;当p为真q为假时p→q显然为假.问题是当p为假时,为什么规定无论q是真是假,P→q均为真?其实平常我们也会采用这种思维方式,譬如,说“如果太阳从西边出来,我就不姓张."其实,不管“我”是否姓张，这句话都是对的,因为太阳不可能从西边出来.也就是说,前件“太阳从西边出来”为假,不论后件“我不姓张”是真是假,这句话都是对的
3. 在自然语言中,“如果p,则q”中的前件p与后件q往往具有某种内在联系.而数理逻辑是研究抽象的推理,p与q可以无任何内在联系.譬如,“因为2<3,所以1+1=2.”在通常的意义下是不对的,或者认为它是毫无意义的,但在数理逻辑中,设p:2<3,q:1+1=2,这句话可形式化为p→q.而且因为p和q都为真,故p→q为真.由此可见,P→q为真仅表示P与q的取值关系(当p为真时,q必为真;当q为假时,P必为假.)而与p与q是否有什么内在联系无关

例1.5将下列命题符号化,并指出它们的真值

1. 如果3+3=6,则雪是白色的
2. 如果3+3≠6,则雪是白色
3. 如果3+3=6,则雪不是白色的
4. 如果3+3≠6,则雪不是白色的
5. 只要a能被4整除,则a一定能被2整除
6. a能被4整除,仅当a能被2整除
7. 除非a能被2整除,a才能被4整除
8. 除非a能被2整除,否则a不能被4整除
9. 只有a能被2整除,a才能被4整除
10. 只有a能被4整除,a才能被2整除

其中a是一个给定的正整数：

解令p:3+3=6,P的真值为1

q:雪是白色的,q的真值也为1

1. 到(4)的符号化形式分别为p→q,┐p→q,p→┐q,┐p→┐q.这四个复合命题的真值分别为1,1,0,1.这4个蕴涵式的前件与后件没有什么内在联系

令r:a能被4整除

S: a能被2整除

仔细分析可知,(5)到(9)叙述的都是a能被2整除是a能被4整除的必要条件,因而都符号化为r→s.由于a是给定的正整数,因而r与s的真值是客观存在的,但是真是假与a的值有关,现在并不知道.可是r与s是有内在联系的,当r为真(a能被4整除)时,s必为真(a能被2整除),于是r→s不会出现前件真后件假的情况,因而r→s的真值为1

而(10)叙述的是a能被4整除是a能被2整除的必要条件,因而应符号化为s→r,它的真值与a的值有关.例如,当a=8时为真,当a=6时为假.而通常我们认为(10)是错的,这再一次提我们要正确地理解命题逻辑中的联结词,不能简单地与自然语言中的联结词等同起来.如何正确地表示我们通常理解的(10),这要到第四章一阶逻辑中介绍

定义1.5设p,q为两个命题,复合命题“p当且仅当q"称作p与q的等价式,记作P<->q称作等价联结词规定p<->q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假

P<->q的逻辑关系为p与q互为充分必要条件

在例1.2中,“q当且仅当s”应符号化为p<->s.由于q与s同为真,所以q<->s为真

不难看出(p→q)^(q→p)与p<->q的逻辑关系完全一样,即都表示P与q互为充分必要条件

例1.6将下列命题符号化,并讨论它们的真值

1. √3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲
2. 2+3=5的充要条件是√3是无理数
3. 若两圆积相等,则它们的半径相等;反之亦然
4. 当王小红心情愉快时,她就唱歌;反之,当她唱歌时,一定心情愉快

解 令p:√3是无理数,真值为1

q:加拿大位于亚洲,真值为0

1. 可符号化为p<->q,其真值为0

令r:2+3=5,其真值为1

1. 可符号化为r<->p,真值为1

令s:两圆01,O2面积相等

t:两圆O1,O2的半径相等

1. 可符号化为s<->t虽然不知道s,t的真值,但我们知道当O1,O2的面积相等时,O1,O2的半径也相等;当O1,O2的面积不相等时,O1,O2的半径也不相等·即,当s为真时,也为真;当s为假时,也为假.故s<->t的真值为1

令u:王小红心情愉快

v:王小红唱歌

1. 可符号化为u<->v,其真值要由具体情况而定,这里不再详述

以上定义了5个最基本、最常用,也是最重要的联结词,它们组成一个联结词集{┐,^,V,→,<->其中┐为一元联结词,其余的4个是二元联结词.现将它们汇总列表如下:

使用多个联结词可以组成更复杂的复合命题,此外还可以使用圆括号(和),(和)必须成对出现.求这种复杂的复合命题的真值时,除依据表1.1外,还要规定联结词的优先顺序.将圆括号计算在内,规定优先顺序为:(),┐,^,V,→,<->;对同一优先级,从左到右顺序进行

例1.7令p:北京比天津人口多

q:2+2=4

r:乌鸦是白色的

求下列复合命题的真值:

1. ((┐p^q)V(p^┐q))→r
2. (qVr)→(p→┐r)
3. (┐pVr)<->(p^┐r)

解：p,q,r的真值分别为1,1,0,容易算出(1),(2),(3)的真值分别为1,1,0