求解n次函数多项式之拉格朗日插值

设

F(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn F ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n

在一些题目中例如找规律，比如是我上次在区域赛的时候如果可以证明或者猜出一些式子是多项式，还有次数，那么我用的待定系数法，就可以解方程来做了。

可以直接手动解，但是也可以借助程序了。
思想指导就是用到了一个东西叫拉格朗日插值法。

假如对于一个n次多项式，我们得到了n+1个不同的在函数上的点，那么在理论上我们是可以确定这个函数的。
这个插值法具体是这么来操作的：
设给出 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn) ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x n , y n ) 个不同的点。
对于每个点，我们构造一个函数，设：

Li(x)=∏k=0,k≠in(x−xk)(xi−xk) L i ( x ) = ∏ k = 0 , k ≠ i n ( x − x k ) ( x i − x k )

那么：

F(x)=∑i=0nyiLi(x) F ( x ) = ∑ i = 0 n y i L i ( x )

拉格朗日插值就是这么个东西。

有了理论指导，那么我们怎么去实现呢，一般我们是去1到n的数值的点。

那么我们先给出问题的一般化：
假设求的是某个 k k 次多项式，求 F(n) F ( n ) ，一般对某个大数取模（如 109+7 10 9 + 7 ），假设你能快速求出 1 1 到 k+1 k + 1 的点的相应的值且存在 f f 数组里，那么可以给出固定的模式：

#define ll long long
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007
ll f[maxn];
ll fac[maxn],inv[maxn];
ll P(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    if(ans<0)ans+=mod;
    return ans;
}
void init(int tot)
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[tot]=P(fac[tot],mod-2);
    inv[0]=1;
    for(int i=tot-1;i>=1;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll Lagrange(ll n,ll k)//求某个k次多项式，当取值为n时，f的值
{
    int tot=k+1;
    init(tot);
    ll ans=0;
    ll now=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
            now=now*(n-i)%mod;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        ll inv1=P(n-i,mod-2);
        ll inv2=inv[i-1]*inv[tot-i]%mod;
        if((tot-i)&1)
            inv2=mod-inv2;
        ll temp=now*inv1%mod;
        temp=temp*f[i]%mod*inv2%mod;
        ans+=temp;
        if(ans>=mod)ans-=mod;
    }
    return ans;
}

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而如果是要直接求出一个多项式。即每个次数的对应系数（即一个数组），则问题会麻烦一点，但是也是可以做的，如果用FFT优化一下就可以达到 O(n2logn) O ( n 2 l o g n ) 的复杂度。这种问题等遇到在探讨一下