【校内模拟】【18-10-16】 华莱士 【环套树】

(拖更N天终于想起来我还有博客 ）
（校内模拟的题面&代码联赛后解除封印~）

题解

1.0 认（hu）真（luan）分析

这道题直到考试完我都没怎么看懂……（太弱了）

其实题意非常简单：在保证每个点只有入度为1的情况下，计算出联通所有点所需的最小代价。

如果这题给的不是无向边而是有向边，我们自然可以想到Kruskal一波解决。问题就在于，这是有向边，而我们需要的是一个联通图。

那么，如果使用Kruskal求出最小生成树，最后再加上一条花费最小的边，使得树上出现一个环，似乎就能解决这个问题了？

很遗憾，这个算法是错的，在考场上只能得到50分（实际上是因为数据水了）

1.1 继续分析

首先我们弄清楚一个概念：环套树。

顾名思义，环套树还真就是一个环+一棵树的结构。那么运用在这道题里，我们实际上就是求给定图中的最小环套树.

吗?

仅仅这样还不够，因为可能图中存在多个环套树，也许还有零散的点构成树，因而最后我们求得的实际上是一个环套树森林。

那么在这个求得的过程中，我们还是考虑Kruskal的加边方式，也就是按权值从小到大依次加边。那么这其中肯定会牵扯到合并两个联通块的问题，这又该怎么解决呢？

下面的解说（又）引自神仙ZXY的博客

显然合并环套树与环套树是不够优的。
简单树和环套树合并后的图是环套树。
简单树与简单树合并后的图仍然是简单树。
简单树内部加边就成了环套树。
只需要考虑上面四种情况，如果最后有节点不在环套树森林中，肯定无解。

为了查询每个联通块自身的属性，我们可以在并查集的根节点上进行维护。这样一来，只需要在Kruskal的合并部分加上几个关于联通块属性的特判就可以了。

总结

有的时候，当我们发现一个问题与另一个问题相近，就意味着我们只需要对原有算法进行些许改动，让它适合这道题就可以了。因而在考试时不要轻易否决每一个念头，说不定那就是解出这道题的关键呢~