扩展欧几里得

看了这篇博客才稍微理解http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

感恩。

在此附上自己理解，加深记忆。

 

扩展欧几里得

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。（gcd即a，b的最大公约数）

证明：

1. b=0时，gcd（a，b）=a，此时x=1，y=0；

2.设   ax1+by1=gcd(a,b)；

         bx2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b)；

（这里穿插欧几里得算法，上面博客有详细解释，这里只写一种。）

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基本算法：设a=kb+r，皆为整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

证明：设w为a，b的一个公约数，则w|a（w可以被a整除），w|b；因为r=a-kr，则w|r。

所以，w也是b，r的公约数。

由此  gcd（a，b）=gcd（b，a%b）。

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（回归正题）

因为 gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

所以 ax1+by1=bx2+(a%b)*y2——>ax1+by1=bx2+(a-b*(a/b))*y2——>ax1+by1=ay2+b*(x2-(a/b)*y2;

得 ：x1=y2   y1=x2-(a/b)*y2;

则 x1,y1可由a，b，x2，y2得到。

接着不断递归2的情况，直到出现1时为止。

递归模板：

void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y=y-x*(a/b);
    }
}

扩展欧几里得求逆元。如求（a/b）%mod，则求b对mod的逆元，即bx+mody=1，求解出的x即为逆元,(逆元=（x+mod)%mod），则（a/b）% mod=（a* x）%mod。

求解膜线性方程：求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)，

 ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

 设ans=x*(b/d),s=n/d;方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;