初等数论 2.1 线性Diophantine方程

定义：设$a_1,a_2,\cdots ,a_n,c\in \mathbb{Z}$，且$a_1{a}_2\cdots a_n̸=0$，关于未知数$x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb{Z}$的方程$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=c$$称为n元一次不定方程.若$\exists x_0^{\prime },x_1^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime }$满足方程，则称有序数组$(x_0^{\prime },x_1^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime })$是不定方程的解.
定理：不定方程$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=c$有解当且仅当$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\mid c$.
推论：设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是非零整数，$c\in \mathbb{Z}$，且$(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1})=d_{n-1}，(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=d_n$，则$(x_0^{\prime },x_1^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime })$当且仅当$t\in \mathbb{Z}$，使得$(x_0^{\prime },x_1^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime })$是方程组$$\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_{n-1}{x}_{n-1}=d_{n-1}t\\ d_{n-1}t+a_n{x}_n=c\end{array}$$的整数解.

从而可以将n元一次不定方程转化为n-1个二元一次不定方程.

定理：当二元一次不定方程$ax+by=c$有一解$\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=y_0\end{array}$时，方程的所有解为$\{\begin{array}{l}x=x_0-\frac{b}{(a,b)}t\\ y=y_0+\frac{a}{(a,b)}t\end{array}\forall t\in \mathbb{Z}$
定义：设$x,y,z\in {\mathbb{Z}}^{+}$，若满足$x^2+y^2=z^2$，则称$x,y,z$是一组勾股数.
定义：对于方程$x^2+y^2=z^2$，满足$xyz=0$的解称为其平凡解，否则称为非平凡解.

显然，方程$x^2+y^2=z^2$的全体平凡解是$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\pm a\\ z=\pm a\end{array}或\{\begin{array}{l}x=\pm a\\ y=0\\ z=\pm a\end{array},a\ge 0$.

定义：若$x,y,z\in {\mathbb{Z}}^{+}$是方程$x^2+y^2=z^2$的解，且$(x,y,z)=1$，则称$x,y,z$是方程的本原解.
定理：不定方程$x^2+y^2=z^2$的本原解一定满足$$(x,y)=(y,z)=(z,x)=1，且2\nmid (x+y)$$
定理：满足不定方程$x^2+y^2=z^2$，且$y$为偶数的全体本原解具有形式$$\{\begin{array}{l}x=a^2-b^2\\ y=2ab\\ z=a^2+b^2\end{array}$$其中$a>b>0$，且$(a,b)=1，2\nmid (a+b)$.
推论：满足不定方程$x^2+y^2=z^2$，且$x$为偶数的全体本原解具有形式$$\{\begin{array}{l}x=2ab\\ y=a^2-b^2\\ z=a^2+b^2\end{array}$$其中$a>b>0$，且$(a,b)=1，2\nmid (a+b)$.
推论：单位圆周上的全部有理点是$(\pm \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\pm \frac{2ab}{a^2+b^2})$和$(\pm \frac{2ab}{a^2+b^2},\pm \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2})$，其中$a,b\in \mathbb{Z}$不全为$0$.

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练习：1.证明：若$n=ab-a-b$，则$ax+by=n$没有非负解.
2.求Diophantine方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{14}$的整数解.
3.证明方程$x^2-3y^n=-1，n\in {\mathbb{Z}}^{+}$无整数解.