对数公式及推导

什么是对数函数

对数函数是指数函数的反函数，指数函数 Y=aX 对应的对数函数形势如下：

X=logaY
根据 aX=alogaY ，可得到 alogaY=Y ，这个挺重要，下面的证明过程会用到！

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一、 logaMN=logaM+logaN

[证明]

alogaMN=MN

alogaMN=alogaM×alogaN

alogaMN=alogaM+logaN

证得 logaMN=logaM+logaN

二、 logaMN=logaM−logaN

这个证明过程同上，自行尝试。

三、 logaMn=nlogaM

[证明]

alogaMn=Mn

alogaMn=(alogaM)n

alogaMn=a(logaM)×n

证得 logaMn=nlogaM

四、 loganM=1nlogaM

[证明]

(an)loganM=M

an×(loganM)=alogaM

n×loganM=logaM

证得 loganM=1nlogaM

五、换底公式  logba=logcalogcb

[证明]

设 a=cm,b=cn

logba=logcncm

根据公式三和公式四，可得到
logba=mn

∵a=cm,b=cn

∴m=logca,n=logcb

∴logba=logcalogcb

六、倒数公式  1logab=logba

[证明]

根据公式五， logab=logcblogca

∴1logab=logcalogcb

根据公式五， logcalogcb=logab

∴1logab=logba

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常用的大概就是这六个公式吧，有补充请留言。

如有不当之处欢迎指出！