SPFA 算法详解( 强大图解，不会都难！)
适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止
期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
实现方法：
建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。
判断有无负环：
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）
首先建立起始点a到其余各点的
最短路径表格
首先源点a入队，当队列非空时：
１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：
在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点
需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d
队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要
入队，此时队列中的元素为c，d，e
队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此
e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f
队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g
队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e
队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b
队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b
队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了
最终a到g的最短路径为１４
program：
#include
using namespace std;
struct node
{int x;
int value;
int next;
};
node e[60000];
int visited[1505],dis[1505],st[1505],queue[1000];
int main()
{
int n,m,u,v,w,start,h,r,cur;
freopen("c.in","r",stdin);
freopen("c.out","w",stdout);
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(int i=1;i<=1500;i++)
{visited[i]=0;
dis[i]=-1;
st[i]=-1; //这个初始化给下边那个while循环带来影响
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d\n",&u,&v,&w);
e[i].x=v; //记录后继节点 相当于链表中的创建一个节点，并使得数据域先记录
e[i].value=w;
e[i].next=st[u]; //记录顶点节点的某一个边表节点的下标，相当于在链表中吧该边表节点的next指针先指向他的后继边表节点
st[u]=i; //把该顶点的指针指向边表节点，相当于链表中的插入中，头结点的指针改变
}
start=1;
visited[start]=1;
dis[start]=0;
h=0;
r=1;
queue[r]=start;
while(h!=r)
{
h=(h+1)%1000;
cur=queue[h];
int tmp=st[cur];
visited[cur]=0;
while(tmp!=-1)
{
if (dis[e[tmp].x]
dis[e[tmp].x]=dis[cur]+e[tmp].value;
if(visited[e[tmp].x]==0)
{
visited[e[tmp].x]=1;
r=(r+1)%1000;
queue[r]=e[tmp].x;
}
}
tmp=e[tmp].next;
}
}
printf("%d\n",dis[n]);
}
return 0;
}
(没有质量，就出数量) 下面一文转载出处：http://blog.csdn.net/morgan_xww/article/details/6279596
- /*
- SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]
- 是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
- 算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，
- 并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
- 它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。
- SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中
- 一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本
- 身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
- 判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。
- SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL：
- SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)
- 否则插入队尾。
- LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入
- 到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。
- 引用网上资料，SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。
- 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。
- */
- //用数组实现邻接表存储，pnt[i,0]表示与i相邻的结点个数，pnt[i,1...k]存储与i相邻的点
- int pnt[MAXN][MAXN];
- int map[MAXN][MAXN]; //map[i,j]为初始输入的i到j的距离，并且map[i,i]=0;未知的map[i,j]=INF;
- int dis[MAXN];
- char vst[MAXN];
- int SPFA(int n,int s)
- {
- int i, pri, end, p, t;
- memset(vst, 0, sizeof(vst));
- for (i=1; i<=n; i++)
- dis[i] = INF;
- dis[s] = 0;
- vst[s] = 1;
- Q[0] = s; pri = 0; end = 1;
- while (pri < end)
- {
- p = Q[pri];
- for (i=1; i<=pnt[p][0]; i++)
- {
- t = pnt[p][i];
- //先释放，释放成功后再判断是否要加入队列
- if (dis[p]+map[p][t] < dis[t])
- {
- dis[t] = dis[p]+map[p][t];
- if (!vst[t])
- {
- Q[end++] = t;
- vst[t] = 1;
- }
- }
- }
- vst[p] = 0;
- pri++;
- }
- return 1;
- }
/*
SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]
是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，
并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。
SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中
一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本
身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。
SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL：
SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)x则将i插入
到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。
引用网上资料，SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。
在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。
*/
//用数组实现邻接表存储，pnt[i,0]表示与i相邻的结点个数，pnt[i,1...k]存储与i相邻的点
int pnt[MAXN][MAXN];
int map[MAXN][MAXN]; //map[i,j]为初始输入的i到j的距离，并且map[i,i]=0;未知的map[i,j]=INF;
int dis[MAXN];
char vst[MAXN];
int SPFA(int n, int s)
{
int i, pri, end, p, t;
memset(vst, 0, sizeof(vst));
for (i=1; i<=n; i++)
dis[i] = INF;
dis[s] = 0;
vst[s] = 1;
Q[0] = s; pri = 0; end = 1;
while (pri < end)
{
p = Q[pri];
for (i=1; i<=pnt[p][0]; i++)
{
t = pnt[p][i];
//先释放，释放成功后再判断是否要加入队列
if (dis[p]+map[p][t] < dis[t])
{
dis[t] = dis[p]+map[p][t];
if (!vst[t])
{
Q[end++] = t;
vst[t] = 1;
}
}
}
vst[p] = 0;
pri++;
}
return 1;
} - 正规邻接表存储：
- /* ------- 邻接表存储 ----------- */
- struct Edge
- {
- int e; //终点
- int v; //边权
- struct Edge *nxt;
- };
- struct
- {
- struct Edge *head, *last;
- } node[MAXN];
- /* -------------------------------- */
- /* 添加有向边<起点,终点,边权> */
- void add(int s,int e,int v)
- {
- struct Edge *p;
- p = (struct Edge*)malloc(sizeof(struct Edge));
- p->e = e;
- p->v = v;
- p->nxt = NULL;
- if (node[s].head == NULL)
- {
- node[s].head = p;
- node[s].last = p;
- }
- else
- {
- node[s].last->nxt = p;
- node[s].last = p;
- }
- }
- /* 松弛，成功返回1，否则0 */
- int relax(int s,int e,int v)
- {
- if (dis[s]+v < dis[e])
- {
- dis[e] = dis[s]+v;
- return 1;
- }
- return 0;
- }
- /* SPFA有负权回路返回0,否则返回1并且最短路径保存在dis[] */
- int n;
- int vst[MAXN], cnt[MAXN];
- int Q[MAXN*MAXN];
- int SPFA(int s0)
- {
- int i, p, q;
- struct Edge *pp;
- memset(vst, 0, sizeof(vst));
- memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
- for (i=0; i<=n; i++)
- dis[i] = INF;
- dis[s0] = 0;
- Q[0] = s0; p = 0; q = 1;
- vst[s0] = 1;
- cnt[s0]++;
- while (p < q)
- {
- pp = node[Q[p]].head;
- while (pp)
- {
- if (relax(Q[p], pp->e, pp->v) && !vst[pp->e])
- {
- Q[q++] = pp->e;
- vst[pp->e] = 1;
- cnt[pp->e]++;
- if (cnt[pp->e] > n) //有负权回路
- return 0;
- }
- pp = pp->nxt;
- }
- vst[Q[p]] = 0;
- p++;
- }
- return 1;
- }
正规邻接表存储：
/* ------- 邻接表存储 ----------- */
struct Edge
{
int e; //终点
int v; //边权
struct Edge *nxt;
};
struct
{
struct Edge *head, *last;
} node[MAXN];
/* -------------------------------- */
/* 添加有向边<起点,终点,边权> */
void add(int s, int e, int v)
{
struct Edge *p;
p = (struct Edge*)malloc(sizeof(struct Edge));
p->e = e;
p->v = v;
p->nxt = NULL;
if (node[s].head == NULL)
{
node[s].head = p;
node[s].last = p;
}
else
{
node[s].last->nxt = p;
node[s].last = p;
}
}
/* 松弛，成功返回1，否则0 */
int relax(int s, int e, int v)
{
if (dis[s]+v < dis[e])
{
dis[e] = dis[s]+v;
return 1;
}
return 0;
}
/* SPFA有负权回路返回0,否则返回1并且最短路径保存在dis[] */
int n;
int vst[MAXN], cnt[MAXN];
int Q[MAXN*MAXN];
int SPFA(int s0)
{
int i, p, q;
struct Edge *pp;
memset(vst, 0, sizeof(vst));
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
for (i=0; i<=n; i++)
dis[i] = INF;
dis[s0] = 0;
Q[0] = s0; p = 0; q = 1;
vst[s0] = 1;
cnt[s0]++;
while (p < q)
{
pp = node[Q[p]].head;
while (pp)
{
if (relax(Q[p], pp->e, pp->v) && !vst[pp->e])
{
Q[q++] = pp->e;
vst[pp->e] = 1;
cnt[pp->e]++;
if (cnt[pp->e] > n) //有负权回路
return 0;
}
pp = pp->nxt;
}
vst[Q[p]] = 0;
p++;
}
return 1;
}- /**通过poj 3159 证明：还是用数组来实现邻接表比用链表来实现邻接表效率高， **/
- #define MAX_node 10000
- #define MAX_edge 100000
- struct Edge
- {
- int e, v;
- } edge[MAX_edge];
- int neg; //number of edge
- int node[MAX_node]; //注意node要用memset初始化全部为-1
- int next[MAX_edge];
- void add(int s,int e,int v)
- {
- edge[neg].e = e;
- edge[neg].v = v;
- next[neg] = node[s];
- node[s] = neg++;
- }
- /* 该题还证明用栈来实现SPFA比用队列来实现效率高，还节约空间 */
- int SPFA(int s0)//栈实现
- {
- int i, t, p, top;
- memset(vst, 0, sizeof(vst));
- for (i=1; i<=n; i++)
- dis[i] = INF;
- dis[s0] = 0;
- Q[0] = s0;
- top = 1;
- vst[s0] = 1;
- while (top)
- {
- t = Q[--top];
- vst[t] = 0;
- p = node[t];
- while (p != -1)
- {
- if (relax(t, edge[p].e, edge[p].v) && !vst[edge[p].e])
- {
- Q[top++] = edge[p].e;
- vst[edge[p].e] = 1;
- }
- p = next[p];
- }
- }
- return 1;
- }