线性代数：正交补

1、行空间和左零空间
矩阵的列所张成的空间叫做列空间，顾名思义，行空间就是矩阵行所张成的空间。
矩阵A的列空间，等于转置矩阵T(A)的行空间。
所有满足Ax=0的x向量组成的空间叫做零空间，满足yA=0的向量组成的空间是左零空间。
矩阵A的零空间，等于转置矩阵T(A)的左零空间。

2、列空间正交左零空间
左零空间的任意向量，有XA=0，X正交与A的所有列向量正交，进而X与A列空间的任意向量正交。
由于X的任意性，说明矩阵的列空间与左零空间正交

同样行空间与零空间正交。

3、正交补
假设V是Rn的一个子空间，那么 V的正交补也是一个子空间，定义为 { x | x.v=0}，也即是Rn中所有正交于V的向量所组成的子空间。

显然N(A)是行空间R(A)  的正交补。

4、A秩= T(A)秩
A的秩与A转置的秩相等。通过将矩阵转化为简化阶梯形，在转置可知。
A的秩定义为dim(C(A))，A的列空间的基数。 因而dim(C(A) = dim(C(T(A))。

5、dim(V) + dim(V正交补) = n
对于矩阵A，dim(C(A)) + dim(N(A)) = n，这是因为Ax=0方程的解空间的基向量数量等于（n-A的简化阶梯形主列数）;
进而 dim(C(T(A))) + dim(N(T(A))=n  => dim(C(A))+dim(N(T(A)) =n。  矩阵的列空间的维数+矩阵左零空间的维数=n；
对于任意一个子空间V，可以将它的基作为列形成一个矩阵，V相当于这个矩阵的列空间，那么它的正交补必然就是这个矩阵的左零空间。

6、V的基+V正交补的基 = Rn的一组基
假设子空间V与子空间W互为正交补，V的基 = (v1,v2,...,vk)，W的基=（w1,w2,..,wj) ，有k+j = n；
由于v*w=0，V与W共有的一个唯一向量是零向量；
如果(v1,...,vk,w1,...,wj)是线性无关的，则必然是Rn的一组基。

c1V1+...,ckVk+d1w1+...+djWj = 0 =》 c1v1+...+ckVk = -d1W1-...-dkWk =>左右两边都是零向量=》c1,...,ck,d1,...,dj =0。 说明(v1,...,vk,w1,...,wj)是线性无关的。

7、正交补的正交补
子空间V的正交补W，那么W的正交补是不是V呢。是否存在某个向量x，x属于W的正交补，但不属于V。
从上一节可知，x可以表示为v+w,v属于V，w属于W，那么有x.w=0 => (v+w).w=v.w+w.w=0 => w.w=0 => w是零向量。可见x必然属于V。
因此正交补是一种对称关系。

8、矩阵相关子空间的正交关系
C(T(A))  与 N(A) 正交补关系
C(A) 与 N(T(A) 正交补