矩阵的秩的性质

定理 1

对于任意一个矩阵 Am×n, A m × n , 对于 A A 的任意一个 s s 行 t t 列组成的矩阵 Bs×t,r(B)≥r(A)+s+t−m−n B s × t , r ( B ) ≥ r ( A ) + s + t − m − n

证明

1. 首先证明： 对于任意一个矩阵 Am×n, A m × n , 对于 A A 的任意一个 m m 行 n−1 n − 1 列组成的矩阵 Bm×(n−1),r(B)≥r(A)−1 B m × ( n − 1 ) , r ( B ) ≥ r ( A ) − 1 。
   取 A A 中的一个行列式不为零的 r(A) r ( A ) 阶子式，则该子式最多有一列不在 B B 中，按照这一列展开，则该子式是 B B 中的 r(A)−1 r ( A ) − 1 阶子式的线性组合，因此 B B 中至少有一个 r(A)−1 r ( A ) − 1 阶子式不为 0, 0 , 因此 r(B)≥r(A)−1 r ( B ) ≥ r ( A ) − 1 。
2. 同理可得，对于任意一个矩阵 Am×n, A m × n , 对于 A A 的任意一个 m−1 m − 1 行 n n 列组成的矩阵 B(m−1)×n,r(B)≥r(A)−1 B ( m − 1 ) × n , r ( B ) ≥ r ( A ) − 1 。
3. B B 可看成是从 A A 中逐个移除 m−s m − s 行 n−t n − t 列而得到的矩阵，因此 r(B)≥r(A)−(m−s)−(n−t)=r(A)+s+t−m−n r ( B ) ≥ r ( A ) − ( m − s ) − ( n − t ) = r ( A ) + s + t − m − n

定理 2

∀Am×p,Bp×n,r(A)+r(B)−p≤r(AB) ∀ A m × p , B p × n , r ( A ) + r ( B ) − p ≤ r ( A B )

证明

令
A=P1(ErA×rA000)Q1 A = P 1 ( E r A × r A 0 0 0 ) Q 1
B=P2(ErB×rB000)Q2 B = P 2 ( E r B × r B 0 0 0 ) Q 2
AB=P1(ErA×rA000)Q1P2(ErB×rB000)Q2 A B = P 1 ( E r A × r A 0 0 0 ) Q 1 P 2 ( E r B × r B 0 0 0 ) Q 2
=P1QQ2 = P 1 Q Q 2
其中 P=Q1P2,Q=(ErA×rA000)P(ErB×rB000) P = Q 1 P 2 , Q = ( E r A × r A 0 0 0 ) P ( E r B × r B 0 0 0 )
P1,Q1,P2,Q2 P 1 , Q 1 , P 2 , Q 2 都可逆。
令 P=(P11P21P12P22), P = ( P 11 P 12 P 21 P 22 ) , 则 Q=(P11000)p×p, Q = ( P 11 0 0 0 ) p × p ,
由定理1， r(AB)=r(P1QQ2)=r(Q)=r(P11)≥r(P)+r(A)+r(B)−p−p=r(A)+r(B)−p r ( A B ) = r ( P 1 Q Q 2 ) = r ( Q ) = r ( P 11 ) ≥ r ( P ) + r ( A ) + r ( B ) − p − p = r ( A ) + r ( B ) − p