线性代数复习六——向量空间

概念：
向量空间
一个向量空间，简单的说，就是必须包含零向量，且对加法和标量乘法封闭的一个非空集合

我们这里讨论的向量空间，不仅仅局限于坐标系构成的向量空间了，而是广义的向量空间，例如我们可以把次数最高为n的多项式集合，形如，我们也可以把看作是一个向量空间

子空间
向量空间V的一个子空间H，就是说V的零向量在H中，且H对加法和标量乘法封闭的一个V的子集

基
H是向量空间V的一个子空间，V中的向量的指标集称为H的一个基，如果：
（i）是一线性无关集
（ii）由生产的子空间与H相同，即
注意：一组基是一个尽量小的生成集，因为它线性无关，它又是一个尽量大的生成集，因为它要生成H缺一不可

向量空间的维数
这个大家意会就好，都懂的~

同构
从一个向量空间V映射到另一个向量空间W的一一线性变换称为从V和W上的一个同构，例如
中过原点的平面和同构，向量空间和是同构的

坐标系
令是向量空间V的一个基，则对V中的每个向量，存在唯一的一组数，使得，称是相对的坐标向量

行空间
矩阵的行向量的线性组合，记为 Row A

一些定理或者结论：
Nul A的维数是方程中自由变量的个数，Col A的维数是中主元列的个数
矩阵的主元列构成Col A的一个基
的秩即为的列空间的维数
rank A+dim Nul A=n，n为A的列数

矩阵的初等行变换不影响矩阵的列的线性相关关系，即两个行等价的矩阵生成的列空间不一定相同，但是它们的对应列有相同的线性相关关系
若两个矩阵A和B行等价，则它们的行空间相同。若B是阶梯形矩阵，则B的非零行构成A的行空间的一个基的同时也是B的行空间的一个基，但是行变换对矩阵的行不保持线性相关关系，即若B的前三行线性无关，A的前三行不一定线性无关

对于坐标变换矩阵，就拿将的坐标变换成的标准坐标来说，其中为从到中标准基的坐标变换矩阵，它的每一列，其实就是基中的每一个向量用的基来表示时，每一个向量前面的系数，同样的，如果我们想要变换中的基，如从用基表示变换到用基表示的话，那么我们只需要求一个到的变换矩阵就行，即用的基中的向量来表示的基中的每一个向量，这些系数合起来就是变换矩阵，我们可以用求类似的方法（左边通过行变换变为单位阵）来求

令容易验证，NulA是轴，RowA是平面，ColA是方程为

的平面，是所有（1,-1,0）的倍数构成的集合，我们可以知道

此外，我们可以在之前的矩阵可逆判定定理中再加上几条
m. 的列构成的一个基
n. Col A=
o. dim Col A=n
p. rank A=n
q. Nul A={0}
r. dim Nul A=0

这一讲就到这里，我们下次继续~