线性代数基础一

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向量空间又称线性空间,是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在此基础上的进一步抽象化,形成了与域相联系的向量空间概念。

线性组合

  线性组合(liner combinations)这个概念曾经被多次提到,如果v1,v2…vn是n维向量,即vi∈Rn,那么t1v1 + t2v2 + … + tnvn就是v1,v2…vn 的线性组合,ti∈R。从定义可以看出,线性组合仅包括乘法和加法,只有同阶向量才涉及到线性组合。

  如果有两个二维向量:

 

  下面是可能存在的线性组合:

 

  最后一个组合最终得到零向量,零向量也是一个线性组合。此外,按照惯例,单个向量用列向量表示。

  单个向量同样存在线性组合。下面是a可能存在的线性组合:

向量空间

  概念没什么好解释的,经常提到二维空间R2,三维空间R3,n维空间Rn,这些就是向量空间。

  以R2空间为例,如果有两个指向不同方向的非零向量a和b,那么R2空间的所有向量都可以用a和b的线性组合得出;a和b的所有线性组合都在R2空间内。这也意味着,向量空间对向量的所有线性组合封闭。下面是一个不封闭的例子,如果定义R2的第一象限是向量a(1,1)的向量空间,那么a的所有线性组合应该全部在第一象限内,但是 –a却落在了其它象限,所以第一象限不对a封闭,也不是a的向量空间。

向量张成的空间

  如果几个向量的线性组合在某一个向量空间中,并且该向量空间仅包括这几个向量的线性组合,那么这个向量空间就叫做这几个向量张成的空间。简单地说,N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。

  以R2空间为例,如果有两个指向不同方向的非零向量a和b,那么a,b张成的空间就是R2,用span(a, b) = R2 表示。如果是两个平行的向量,a’ = <1, 1>,b’ = <-1, -1>,那么它们无法张成R2,因为无论怎样线性组合,也不可能得到<1, -1>,实际上,a’b’ 张成的空间是一条直线:

线性代数基础一_第1张图片

  同样,span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩,所以span(a)也是一条直线。很明显,0向量张成的向量空间还是0向量。

  需要注意的是,a是经过原点的,如果很不幸地将a画在了别的地方,它张成的空间就不是直线了,因为其中一个线性组合0a并不在直线上:

线性代数基础一_第2张图片

线性相关和线性无关

  如果有两个向量<2,3>和<4, 6>,它们张成的空间是什么呢?

 

  根据定义,这两个向量的线性组合是:

 

  这相当于单个向量<2, 3>的线性组合,是一条直线。实际上,这正是过原点的直线参数方程(直线的参数方程可参考《线性代数笔记6——直线和曲线的参数方程》)。

  上面的两个向量就是线性相关的,这意味着它们中的一个可以用另一个的线性组合表示,也就是说其中一个向量是多余的,或者说它们不是独立向量(对同一种现象,线性代数从不同的角度会有多种叫法,这多少令人迷惑)。与之相反,就是线性无关。

  再来一组向量,看看它们是线性相关还是线性无关?

  看起来是线性无关的,其中一个向量无论再怎么增大,都无法表示另一个,但是线性组合不仅仅包括数乘:

  v3是v1v2的线性组合,所以这三个向量是线性相关的。换个角度看,v1v2是线性无关的,span(v1, v2) = R2,R2中的每个向量都可以由v1, v2的线性组合表示,而v3∈R2,所以v3也可以由v1, v2的线性组合表示,它是个多余向量(当然,也可以说v1或v2是多余的,因为三者中的任意一个都可以由另外两个表示,所以三者等价),对张成空间没有任何贡献,因此v1v2 v3是线性相关的。span(v1, v2, , v2) = R2

  有了上面的铺垫,可以用数学语言描述线性相关的定理:如果存在一个集合S = {v1, v2,…,vn},当这个集合满足t1v1 + t2v + … + tnvn = Z 时,S中的向量是线性相关的,其中Z是0向量,ti∈R,ti 不全为0。

  这似乎有些让人困惑,如果换一种写法就很清晰了。假设t1 ≠ 0:

线性代数基础一_第3张图片

  现在可以看出,定理描述的是,v1可以用其它向量的线性组合表示。在判断线性相关的时候,定理提供了一种有效的方案。

  现在有两个向量:

 

  或许很容易看出它们是线性无关的,现在根据上面数学描述看一种新方案:

 

  现在判断线性相关变成了解方程组的问题,因为这个方程组解得t1 = 0, t2 = 0,所以两个向量是线性无关的,t1t2至少有一个不为0才是线性相关。

子空间

  设V是 Rn的一个非空子集,若V中的任意N个向量的线性组合依然属于V,则称V是 Rn的一个线性子空间,简称子空间。

  根据概念,如果V是Rn的线性子空间,则V一定满足三个条件,

  1. 包含0向量;
  2. x是V中的一个向量,x和一个标量的乘积也在V中,即数乘封闭性;
  3. a和b是V中的向量,a+b也在V中,即加法封闭性。

  上面的2、3可以看作是V中任意两个向量的线性组合。

  对于R2来说,它的子空间有三个, R2本身、Z、所有经过原点的直线。

  对于R3来说,它的子空间有四个, R3本身、Z、所有经过原点的直线、所有经过原点的平面。

  来看一个例子,下面的V是否是R2的子空间?

 

  可以通过分量的取值范围得知,V是直角坐标系的一、四象限:

线性代数基础一_第4张图片

  可以根据子空间的条件逐一检验,首先0向量在V内;再看加法封闭性,这样定义V中的任意两个向量:

 

  由于a1+a2 ≥ 0,所以满足加法封闭性。最后看乘法封闭性,当标量为负数时,其结果已经超出了一、四象限,不在V中,所以不满足乘法封闭性,V不是R2的子空间。

  最后,向量集合张成的空间一定是子空间,所以也经常说“向量张成的子空间”。

子空间的基

  简单地说,基就是张成子空间所需要的最小向量集。

  如果一个向量集S={v1, v2 … vn}中的向量是线性无关的,S张成了一个子空间V,S就叫做V的一组基,{v1, 2v2, 3v3 … nvn} 是另一组基,但是它和第一组没什么本质区别。

  下面的集合S1和S2都是R2的一组基:

 

  因为S2中的两个向量是R2空间两个维度上的单位向量,所以S2也叫做R2的标准基。

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