已知三角形三点坐标, 求三角形的面积

我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)，C(x2,y2,z2)。我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量。然后，我们以A为原点，进行坐标平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。

①在三维的情况下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘结果的模为：

|B×C| = ((y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0)) -
　　　　 ((y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0))

　　　　 |  1          1        1     |
　　　 = |x1-x0 y1-y0 z1-z0|
　　　　 |x2-x0 y2-y0 z2-z0|

它的一半即为所要求的三角形面积S。

还有一种比较简单的写法。将向量AB和AC平移至原点后，设向量B为(x1,y1,z1)，向量C为(x2,y2,z2)，则他们的叉乘所得向量P为(x,y,z)，其中：

    |y1 z1|     |z1 x1|     |x1 y1|
x = |     | y = |     | z = |     |
    |y2 z2|     |z2 x2|     |x2 y2|

然后用三维中的两点之间距离公式，求出(x,y,z)与(0,0,0)的距离，即为向量P的模，它的一半就是所要求的面积了。

以上公式都很好记：x分量由y，z分量组成，y分量由z，x分量组成，z分量由x，y分量组成，恰好是循环的。坐标平移一下就好了。

②在二维的情况下，我们可以取z = 0这个平面，即令z1 = z2 = 0，且

|P1×P2| = x1y2 - x2y1

　　　　 　| x1 y1  | 
　　　　 = |        |
　　　　　 | x2 y2  |

所以：
　　　　　　
|B×C| = (x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)

　　　　 |x1-x0 y1-y0|
　　　 = |           |
　　　　 |x2-x0 y2-y0|

它的一半即为所要求的三角形的面积S。

注意，用行列式求出来的面积是带符号的。如果A，B，C是按顺时针方向给出，则S为负；按逆时针方向给出，则S为正。

以二维的情况为例，三维亦同：

A(0,0) B(0,1) C(1,0) (A，B，C按顺时针方向给出)

S = ((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;
  = ((0 - 0)*(0 - 0)-(1 - 0)*(1 - 0))/2
  = -0.5

A(1,0) B(0,1) C(0,0) (A，B，C按逆时针方向给出)

S = ((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;
  = ((0 - 1)*(0 - 0)-(0 - 1)*(1 - 0))/2
  = 0.5

如果你不需要符号的话，再求一下绝对值就好了。这样也不用去管给出的点的顺序了。

以上是利用叉乘。其实还有一招，那就是海伦公式：

利用两点之间距离公式，求出三角形的三边长a，b，c后，令p = (a+b+c)/2。再套入以下公式就可以求出三角形的面积S :

S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

推荐：在二维的时候使用叉乘公式，三维的时候使用海伦公式～～～不过如果是需要符号的情况时，就只能使用行列式的计算公式了。