数论继续学习5---数论四大定理

数论继续学习5---数论四大定理(你怕不怕(☆゚∀゚)老实告诉我)

数论四大定理:

1.威尔逊定理

2.欧拉定理

3.孙子定理(中国剩余定理)

4.费马小定理

 

提示:以后出现(mod p)就表示这个公式是在求余p的条件下成立)

注:如果两个数a、b满足a mod p = b mod p,则称他们模p相等,记做a ≡ b( mod p)

模运算:如果执行模n运算,则每个结果值x都有集合{0,1,......,n-1}中的某个元素所取代,该元素在模n意义下与x等价(算法导论)。


一、威尔逊定理:(PS:威尔逊是个厉害人)

当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )

或者     这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )

或者说     若p为质数,则p能被(p-1)!+1整除

 

在初等数论中

这是威尔逊给出了判定一个自然数是否为 素数 的 充分必要条件

但是由于阶乘是呈爆炸增长的,其结论对于实际操作意义不大。(´・ω・`)(威尔逊表示很伤心)

但在别的地方有应用:这里引用大佬收集的资料。



 

 


二、欧拉定理:(PS:欧拉是个厉害人)

欧拉定理,也称费马-欧拉定理
若k,m为正整数,且k,m互质,即gcd(k,m) = 1,则
k^φ(m) ≡ 1 (mod m)
 
φ(n) 是欧拉函数
                         欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目   (o>▽<)太长看不懂?我来帮你断句

                        欧拉函数是求 (小于n的数 )中 (与n互质的数 )的数目
或者说
                        欧拉函数是求 1到n-1 中 与n互质的数 的数目
 
如果n是质数
那么1到n-1所有数都是与n互质的,  所以φ(n) = n-1;
如果n是合数。。自己算算吧,(稍后给出结论) 例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质

  

欧拉函数:对于正整数N,代表小于等于N的与N互质的数的个数,记作φ(N)。

 
一定要分清 欧拉定理,欧拉函数和欧拉公式这3个东西,要不然你就百度不到你想要的东西了(其实我在说我自己 ̄ε  ̄)
 
 
 
 
 
 
 
 
 

三、孙子定理(中国剩余定理):(PS:孙子是个厉害人。。。这话怎么在哪里听过( ・◇・)?好耳熟)

孙子定理,又称中国剩余定理。


公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二 ,五五数之余三 ,七七数之余二,问物几何?”答为“23”。

就是说,有一个东西不知道有多少个,但是它求余3等于2,求余5等于3,求余7等于2,问这个东西有多少个?”答为“23”。

 

用现代数学的语言来说明的话,中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:


中国剩余定理1

中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, ... ,an,方程组 (S)有解

至于怎么求解,以后再讲

 

线性同余方程:ax  = b(mod n) 显然,它等价于存在整数y,使得ax - ny = b;

 

 

 

 


 

四、费马小定理:(PS:费马是个厉害人。。。好了最后一遍,不玩了)

对于素数p和任意整数a,有a^p = a(mod p)。(算法导论) 


假如p是质数,若p不能整除a,则 a^(p-1) ≡1(mod p),若p能整除a,则a^(p-1) ≡0(mod p)。
或者说,若p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
 
 
你看你看你看o(*≧▽≦)ツ,是不是和欧拉定理很像
因为欧拉定理是费马小定理的推广,所以欧拉定理也叫费马-欧拉定理(费马:欧拉是坏人(/TДT)/,盗取我的成果,然后加以利用)

 

顺便一提,费马大定理

费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出。
它断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

 

 

 

这是数论的一些基础,以后会用的上的 ̄ 3 ̄



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