xia ge tou lia

线性代数——韦达定理、矩阵行列式、矩阵的迹、矩阵特征值及关系

本文主要围绕以下定理，并对相关知识点做回顾和扩充。

定理：设 $\lambda _{1}$ ，...， $\lambda _{n}$ （实数或者复数，可以重复）是阶方阵 $A=[a_{ij}]$ 的个特征值，即 $\left | A-\lambda E \right |=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})...(\lambda -\lambda _{n})=0$ ，则

$\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}$ ， $\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=det(A)=\left | A \right |$

通俗描述即为：矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

以下分为五个部分介绍：

韦达定理
矩阵行列式
矩阵的迹
矩阵的特征值及特征向量
解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

一、韦达定理

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

1、一元二次方程

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ （ $a\neq 0$ 且 $\Delta =b^{2}-4ac\geq 0$ ），设两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 。

则： $x_{1},x_{2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

且易得到： $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$

以上定理交代了两根之和（积）与方程系数的关系。

2、一元三次方程

对于一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ，设三个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 。

易得到： $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=-\frac{d}{a}$

3、一元多次方程

推广定理：韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

设复系数一元n次方程 $b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}=\sum^{n}_{i=1}b_{i}x^{i}+b_{0}=0$ ，其中 $b_{i}$ 代表第次项的系数， $b_{0}$ 代表常数项。

则 $x_{1}+x_{1}+...+x_{n}=\sum^{n}_{i=1}x_{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}$ ， $x_{1}x_{2}...x{n}=\prod ^{n}_{i=1}x_{i}=(-1)^{n}\frac{b_{0}}{b_{n}}$

即：所有根之和为（n-1）次项系数与n次项系数之比的相反数，所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以 $(-1)^{n}$

注：该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行，因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐，是通过将左边的多项式因式分解成 $a_{n}(x-x_{1})(x-x{2})...(x-x_{n})$ 之后，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通过该方法证明韦达定理，而无需借助求根公式。

二、矩阵行列式

1、矩阵行列式的基本介绍

一个 $n\times n$ 的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

$det\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}=ad-bc$

把一个阶行列式中的元素 $a_{ij}$ 所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素 $a_{ij}$ 的余子式,记作 $M_{ij}$ 。记 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ，叫做元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。例如：

$A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41} & a_{42} &a_{43} &a_{44} \end{vmatrix}$ ， $M_{23}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} &a_{34} \\ a_{41} & a_{42} &a_{44} \end{vmatrix}$ ， $A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{23}$

注意：余子式和代数余子式是行列式中才有的概念。如上所示，此时的代表行列式， $M_{23}$ 代表元素 $a_{23}$ 的余子式， $A_{23}$ 代表元素 $a_{23}$ 的D代数余子式。

命题：n阶行列式det(A)等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

$det(A)=\left | A \right |=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum ^{n}_{j=1}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$ （其中，可以取任意的行号1,2,3,...,n）

$det(A)=\left | A \right |=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}=\sum ^{n}_{i=1}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$ （其中，可以取任意的列号1,2,3,...,n）

2、矩阵行列式的几何理解

一句话概括之，行列式的本质就是线性变换的放大率（伸缩因子）。

几何理解：表示维空间到维空间的线性变换，假想原来空间中有一个维的“立方体”（任意形状），其中“立方体”内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体，设原立方体的体积为 $V_{1}$ ，新立方体的体积为 $V_{2}$ ，行列式 $det(A)=\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 。

1)线性变换

理解行列式之前，需要先理解线性变换。

线性代数中的线性变换：转换矩阵 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ 乘以向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2} \end{pmatrix}$ 就是对其进行了线性变换，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}\\ a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2} \end{pmatrix}$ 。

线性变化中的“”线性”二字，也就是原来的一条直线，在变换了之后还应该是直线。

任何一个空间都可以由一组基构成，也就是说，这个空间上的任何一个点（向量）都可以由这组基以线性组合的形式得到。

如下图， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2} \end{pmatrix}$ 也可以写作 $v_{1}\overrightarrow{i}+v_{2}\overrightarrow{j}$ （ $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 为基向量， $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ）

假设我们有原向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ ，变换（旋转）矩阵 $A=\begin{pmatrix} cos(90^{\circ}) &-sin(90^{\circ}) \\ sin(90^{\circ}) & cos(90^{\circ}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\times 2-1\times 3\\ 1\times 2+0\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}$ 。

从基向量的角度解释：矩阵对向量 $\overrightarrow{v}$ 的变换，其实是施加在其基底上的变换，而新的向量 $\overrightarrow{{v}'}$ 关于新的基底 $(\overrightarrow{{i}'},\overrightarrow{{j}'})$ 的线性组合,与原来的向量 $\overrightarrow{v}$ 是关于基底 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ 的线性组合是一样的。 $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$ ，线性组合系数为（2,3）， $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 经过矩阵的线性变换之后变成新的基底 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{{j}'}=A\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\0\end{pmatrix}$ ，新向量 $\overrightarrow{{v}'}=2\overrightarrow{{i}'}+3\overrightarrow{{j}'}=2\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2\end{pmatrix}$ 。

注意：关于旋转矩阵的由来及推导可见《线性代数——线性变换——旋转矩阵（泰勒公式、虚数、欧拉公式）》

所以我们说，一个向量，在经过一个矩阵的变换之后，改变的是组成向量的基，而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。

换句话说，对于一个线性变换，我们只需要跟踪其基在变换前后的变化，便可以掌握整个空间的变化。而矩阵的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系，也就是说，新的基底其实就是矩阵的列向量的线性组合 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=1A_{1}+0A_{2}=1\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}$ ，其中 $A_{1},A_{2}$ 是的列。

以上的图形展现的是“旋转”的线性变化，其本质是改变组成向量的基。接下来我们“推移”是怎么改变基的，如下图。

推移矩阵把 $\overrightarrow{v}$ 推移到 $\overrightarrow{{v}'}$ 实际上也是改变了 $\overrightarrow{v}$ 的基底 $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ 。

有原向量 $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ ，变换（推移）矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，从而得到转换之后的向量 $\overrightarrow{{v}'}=A\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 1 &-\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 2-\frac{4}{3}\times 3\\ 0\times 2+1\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}$ 。

从基向量的角度解释：设 $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$ ，线性组合系数为（2,3）； $\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 经过矩阵的线性变换之后变成新的基底 $\overrightarrow{{i}'}=A\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ ， $\overrightarrow{{j}'}=A\overrightarrow{j}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{4}{3}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}\\1\end{pmatrix}$ ，新向量 $\overrightarrow{{v}'}=2\overrightarrow{{i}'}+3\overrightarrow{{j}'}=2\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}$ 。

2）行列式的几何理解

以上面的旋转矩阵 $A=\begin{pmatrix} cos\theta &-sin\theta \\ sin\theta& cos\theta \end{pmatrix}$ 为例，我们对其求行列式 $\left | A \right |=\begin{vmatrix} cos\theta &-sin\theta \\ sin\theta& cos\theta \end{vmatrix}=cos^{2}\theta +sin^{2}\theta=1$ ，意味旋转矩阵的行列式恒等于1，且不改变面积（或体积），如下图二维平面的旋转展示。

即和上面的结论相符：行列式是线性变换的伸缩因子。

且我们容易得到：

，对图形起到放大作用；
，图形大小没有变化；
，对图形起到缩小作用；
，矩阵不可逆。
，改变了基的“左右手法则”。

3）行列式的性质

由上面我们已经知道，行列式是线性变换的伸缩因子，所以很容易得到：

$det(AB)=det(A)\times det(B)=det(BA)$

从“体积”的角度理解为：两次对“体积”的缩放效果是累积的，且和两次操作次序无关。

4）“矩阵可逆” 完全等价于 “ $det(A)\neq 0$ ”

公式推导

由上面我们已知： $det(AB)=det(A)\times det(B)=det(BA)$

且有逆矩阵的性质： $AA^{-1}=E$ （为单位矩阵）

结合可得： $det(AA^{-1})=det(A)\times det(A^{-1})=det(E)=1$

如果，则 $det(A^{-1})=\frac{1}{0}$ ，无意义，即 $det(A^{-1})$ 不存在，即矩阵不可逆。

几何理解

可以理解为线性变换矩阵把维立方体给拍扁了（原来维变成了维或维，....），例如把3维立方体拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

注意：这里说的体积都是针对维空间而言的，就表示新的立方体在维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是0。

所以凡是的矩阵都是不可逆的，因为这样的变换以后就再也找不到一个矩阵将其变换回去，这样的矩阵必然是没有逆矩阵 $A^{-1}$ 的。

详细可参考：

https://www.matongxue.com/madocs/247.html

https://www.zhihu.com/collection/200330229

三、矩阵的迹

1、矩阵的迹的基本介绍

在线性代数中，一个 $n\times n$ 矩阵的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵的迹（或迹数），一般记作， $tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}$ 。

四、矩阵的特征值及特征向量

1、矩阵的特征值、特征向量的基本介绍

以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》

1）特征值、特征向量

设是阶方阵，如果标量 $\lambda$ 和维非零列向量使关系式 $Ax=\lambda x$ 成立，则称 $\lambda$ 是方阵的特征值，非零列向量称为的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。 $Ax=\lambda x$ 可改写为 $(A-\lambda E)x=0$ 。

这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 $\left | A-\lambda E \right |=0$ ，即

$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$

2）特征值、特征向量的求解

求n阶方阵的特征值和特征向量的步骤如下：

求出n阶方阵A的特征多项式 $\left | A-\lambda E \right |$
求出特征方程 $\left | A-\lambda E \right |$ =0的全部根， $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ ，......， $\lambda _{n}$ ，即为A的特征值。
把每个特征值 $\lambda _{i}$ 代入线性方程组 $( A-\lambda E)x=0$ ，求出基础解系，就是A对应于 $\lambda _{i}$ 的特征向量，基础解析的线性组合（零向量外）就是A对应于 $\lambda _{i}$ 的全部特征向量。

3）特征值、特征向量的几何解释

上面我们提到，线性变换其实是施加在其基底上的变换，在以 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 为基底的二维空间中，向量 $\overrightarrow{v}$ 经过矩阵变换，变成 $A\overrightarrow{v}$ ，可以观察到，调整后 $\overrightarrow{v}$ 和 $A\overrightarrow{v}$ 在同一条直线上，但是 $A\overrightarrow{v}$ 相对于 $\overrightarrow{v}$ 延长了。

此时，我们就称 $\overrightarrow{v}$ 是的特征向量，而 $A\overrightarrow{v}$ 的长度是 $\overrightarrow{v}$ 的长度的 $\lambda$ 倍， $\lambda$ 就是特征值。

所以 $A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$ 可以理解为， $\overrightarrow{v}$ 在的作用下，保持方向不变进行比例为 $\lambda$ 的伸缩。

如果把矩阵看作是运动，则特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。

五、解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹，之积等于矩阵的行列式

1、矩阵的特征值之和等于矩阵的迹

已知求阶方阵的特征值，即求阶方阵的特征多项式 $\left | A-\lambda E \right |=0$ 的全部根，即求

$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$ 的所有 $\lambda$ 。

由韦达定理可知：设 $\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=b_{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+b_{1}\lambda +b_{0}=0$ ，其中 $b_{i}$ 代表第次项的系数， $b_{0}$ 代表常数项。则 $\lambda _{1}+\lambda _{1}+...+\lambda _{n}=\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}$ ，其中， $b^{n}$ 为 $\lambda^{n}$ 的系数等于 $(-1)^{n}$ （当为奇数时等于-1，偶数时为1）； $b^{n-1}$ 为 $\lambda^{n-1}$ 的系数，除了主对角元的乘积 $(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$ 的展开项之外，其他展开项的次数都小于，因此次项的系数 $b^{n-1}$ 就是 $(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$ 中 $\lambda ^{n-1}$ 的系数，等于 $(-1)^{n}(a_{11}+a_{22}+...a_{nn})$ （当为奇数时为负，偶数时为正），则 $\lambda _{1}+\lambda _{1}+...+\lambda _{n}=\sum^{n}_{i=1}\lambda _{i}=-\frac{b_{n-1}}{b_{n}}=\frac{(-1)^{n}(a_{11}+a_{22}+...a_{nn})}{(-1)^{n}}=tr(A)$ ，即矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。

2、矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式

1）代数理解

同样根据韦达定理可知， $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=(-1)^{n}\frac{b_{0}}{b_{n}}$ ，其中， $b^{n}$ 为 $\lambda^{n}$ 的系数等于 $(-1)^{n}$ （当为奇数时等于-1，偶数时为1），则可化简为 $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=\frac{(-1)^{n}b_{0}}{(-1)^{n}}=b_{0}$ ，已知特征多项式 $\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ .& .& .&. \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=b_{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+b_{1}\lambda +b_{0}$ ，我们令 $\lambda=0$ ，求得， $b_{0}$ 代表阶方阵的行列式，即 $\lambda _{1}\lambda _{2}...\lambda {n}=\prod ^{n}_{i=1}\lambda _{i}=\frac{(-1)^{n}b_{0}}{(-1)^{n}}=b_{0}=det(A)$ ，矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。

2）几何理解

特征值，理解为通过变换改变了观察者视角，由特征向量产生新的正交基，每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数，

行列式，理解为有向体积的缩放系数。

特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数。

如下图所示，原来的长方体体积 $V=a\cdot b\cdot c$ ，缩放之后的长方体体积等于。 ${V}'=\lambda_{1} a\cdot \lambda_{2} b\cdot \lambda_{3} c=(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3})\cdot (a\cdot b\cdot c)=(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3})V$

【树一线性代数】005入门 Owlet_woodBird 算法
Index本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376分析实现总结本文稍后补全，推荐阅读：https://blog.csdn.net/weixin_60702024/article/details/141874376已知非空二叉树T的结点值均为正整数，采用顺序存储方式保存，数据结构定义如下:t
如何有效的学习AI大模型？ Python程序员罗宾学习人工智能语言模型自然语言处理架构
学习AI大模型是一个系统性的过程，涉及到多个学科的知识。以下是一些建议，帮助你更有效地学习AI大模型：基础知识储备：数学基础：学习线性代数、概率论、统计学和微积分等，这些是理解机器学习算法的数学基础。编程技能：掌握至少一种编程语言，如Python，因为大多数AI模型都是用Python实现的。理论学习：机器学习基础：了解监督学习、非监督学习、强化学习等基本概念。深度学习：学习神经网络的基本结构，如卷
每日小计划小糊涂神
活到老学到老到，学习永无止境，我坚持每天学习，我的学习计划如下：1.每天学习五个英语单词，和正在学习英语的儿子共同进步，方便辅导他。2.学习一节统计学或者一节线性代数课程，在此基础上进一步学习数据的处理软件。3.每天微信步数达到1万步，每天饭后过一下二人世界，不到沟通感情，而且还能强身健体！4.学习两节税务师课件，中级会计师已经通过，距离考高级还有几年，空档期考取税务师，充实自己的专业知识。5.坚
深度学习算法，该如何深入，举例说明 liyy614 深度学习
深度学习算法的深入学习可以从理论和实践两个方面进行。理论上，深入理解深度学习需要掌握数学基础（如线性代数、概率论、微积分）、机器学习基础和深度学习框架原理。实践上，可以通过实现和优化深度学习模型来提升技能。理论深入数学基础线性代数：理解向量、矩阵、特征值和特征向量等，对于理解神经网络的权重和偏置矩阵至关重要。概率论：用于理解模型的不确定性，如Dropout等正则化技术。微积分：理解梯度下降等优化算
非理工科院校怎么打好数学建模比赛 | 南川笔记南川笔记
Proposition1非理工科院校最好不要打数学建模比赛。虽说“一次建模，终身受益”，但毕竟数学建模既要数学理论的支撑（不仅仅是大学里的微积分、线性代数和概率论与统计，更多的是基于微积分的常偏微分方程、基于线性代数的运筹学和基于概率论与统计的统计分析内容），还要编程的支撑（不是常规的C语言或者Java程序，也不是这几年很火的Python编程，而是基于数值运算的Matlab和基于统计的R），这在一
【鼠鼠学AI代码合集#5】线性代数鼠鼠龙年发大财鼠鼠学AI系列代码合集人工智能线性代数机器学习
在前面的例子中，我们已经讨论了标量的概念，并展示了如何使用代码对标量进行基本的算术运算。接下来，我将进一步说明该过程，并解释每一步的实现。标量（Scalar）的基本操作标量是只有一个元素的数值。它可以是整数、浮点数等。通过下面的Python代码，我们可以很容易地进行标量的加法、乘法、除法和指数运算。代码实现：importtorch#定义两个标量x=torch.tensor(3.0)#标量x，值为3
数学基础 -- 线性代数正交多项式之勒让德多项式展开推导 sz66cm 线性代数决策树算法
勒让德多项式展开的详细过程勒让德多项式是一类在区间[−1,1][-1,1][−1,1]上正交的多项式，可以用来逼近函数。我们可以将一个函数表示为勒让德多项式的线性组合。以下是如何推导勒让德多项式展开系数ana_nan的详细过程。1.勒让德展开的基本假设给定一个函数f(x)f(x)f(x)，我们希望将它表示为勒让德多项式的线性组合：f(x)=∑n=0∞anPn(x),f(x)=\sum_{n=0}^
线性代数基础 wq_151 mathematic 线性代数
Base对于矩阵A，对齐做SVD分解，即UΣV=svd(A)U\SigmaV=svd(A)UΣV=svd(A).其中U为AATAA^TAAT的特征向量，V为ATAA^TAATA的特征向量。Σ\SigmaΣ的对角元素为降序排序的特征值。显然，U、V矩阵中的列向量相互正交，所以也可以视V为svd分解给出了A的列向量空间的正交基，其中最大奇异值（或特征值）对应的特征向量捕捉了数据变化的最大方向。求满足A
2022考研数学李永乐复习全书pdf版-基础篇(数一二三通用) 面包资料屋考研数学
2022考研数学李永乐复习全书pdf版-基础篇(数一二三通用)：https://pan.baidu.com/s/1tK9cPPG5Q-xhasqb051ymQ提取码：1111本书是专门为准备参加硕士研究生入学考试提前复习的大二大三学生、在职考研人士及基础薄弱的考生编写。本书以初等数学水平为起点，阐述了考研数学要求的基本知识构架。希望本书能够帮助考生在短时间内厘清考研数学（包括高等数学、线性代数、概
线性代数|机器学习-P33卷积神经网络ImageNet和卷积规则取个名字真难呐算法机器学习矩阵人工智能线性代数
文章目录1.ImageNet2.卷积计算2.1两个多项式卷积2.2函数卷积2.3循环卷积3.周期循环矩阵和非周期循环矩阵4.循环卷积特征值4.1卷积计算的分解4.2运算量4.3二维卷积公式5.KroneckerProduct1.ImageNetImageNet的论文paper链接如下：详细请直接阅读相关论文即可通过网盘分享的文件：imagenet_cvpr09.pdf链接:https://pan.
Python的图形化界面编程 iteye_20668 Python python
2017.2.14好久没有写代码了，感觉过一个年弄的什么也没有干成，好像看了下c++,突然发现现在来看C++,要简单了好多，并且指针也没有那么难了，然后就是看了下机器学习，感觉有点小难，现在发现好多都涉及到高数，概率论和线性代数的知识，想想当初把这些学的是一塌糊涂。然后上次和胡杨大大聊天的时候，他说好多东西都是在实践中去学习的。好了，继续我的Python吧，Python的图形化界面编程。impor
matlab初等变换函数,线性代数实践及 MATLAB 入门(2005年10月) weixin_39861905 matlab初等变换函数
出版时间：2005-10-1作者：陈怀琛，龚杰民编著出版社：电子工业出版社程序集名为dsk05，课件名bk05课件内容简介本书是根据“用软件工具提高线性代数教学”的指导思想，参照美国1992—1997国家科学基金项目ATLAST的思路，编写成的线性代数补充教材，其目的是补充我国现有教材的的缺陷。它分为两篇，第一篇介绍线性代数所用的软件工具MATLAB语言，它可以作为教材，也可以作为手册使用；第二篇
matlab线性代数电子书,实用大众线性代数 MATLAB版_13652907.pdf 三金乐了 matlab线性代数电子书
【作者】陈怀琛著【形态项】156【出版项】西安：西安电子科技大学出版社,2014.08【ISBN号】978-7-5606-3462-3【中图法分类号】O151.2【原书定价】20.00【主题词】线性代数-计算机辅助设计-MATLAB软件【参考文献格式】陈怀琛著.实用大众线性代数MATLAB版.西安：西安电子科技大学出版社,2014.08.内容提要:传统的线性代数源于数学家，教理论不教应用。工科需要
数学基础 -- 线性代数之格拉姆-施密特正交化 sz66cm 线性代数机器学习人工智能
格拉姆-施密特正交化格拉姆-施密特正交化（Gram-SchmidtOrthogonalization）是一种将一组线性无关的向量转换为一组两两正交向量的算法。通过该过程，我们能够从原始向量组中构造正交基，并且可以选择归一化使得向量组成为标准正交基。算法步骤假设我们有一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}\{v_1,v_2,\dots,v_n\}{v1,v2,…,vn}，其目标是将这些向量正交化
Matlab初等数学与线性代数崔渭阳 matlab matlab 线性代数数据结构
初等数学算术运算基本算术加法+添加数字，追加字符串sum数组元素总和cumsum累积和movsum移动总和A=1:5;B=cumsum(A)B=1×51361015减法-减法diff差分和近似导数乘法.*乘法*矩阵乘法prod数组元素的乘积cumprod累积乘积pagemtimes按页矩阵乘法（自R2020b起）tensorprodTensorproductsbetweentwotensors（自
数学基础 -- 线性代数之矩阵的迹 sz66cm 线性代数机器学习决策树
矩阵的迹什么是矩阵的迹？矩阵的迹（TraceofaMatrix）是线性代数中的一个基本概念，定义为一个方阵主对角线上元素的总和。矩阵的迹在许多数学和物理应用中都起着重要作用，例如在矩阵分析、量子力学、统计学和系统理论中。矩阵迹的定义对于一个n×nn\timesnn×n的方阵AAA：A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)A=\begin{pmatrix}a_{1
线性代数第五讲:线性方程组_齐次线性方程组_非齐次线性方程组_公共解同解方程组_详解小徐要考研线性代数线性代数线性方程组机器学习
线性方程组文章目录线性方程组1.齐次线性方程组的求解1.1核心要义1.2基础解系与线性无关的解向量的个数1.3计算使用举例2.非齐次线性方程的求解2.1非齐次线性方程解的判定2.2非齐次线性方程解的结构2.3计算使用举例3.公共解与同解3.1两个方程组的公共解3.2同解方程组4.方程组的应用5.重难点题型总结5.1抽象齐次线性方程组的求解5.1含有系数的非齐次线性方程组的求解及有条件求全部解问题5
Day04-线性代数-特征值和特征向量(DataWhale) liying_tt 数学基础线性代数
七、特征值和特征向量AAA是n阶方阵，数λ\lambdaλ，若存在非零列向量α⃗\vec{\alpha}α，使得Aα⃗=λα⃗A\vec{\alpha}=\lambda\vec{\alpha}Aα=λα，则λ\lambdaλ是特征值，α⃗\vec{\alpha}α是对应于λ\lambdaλ的特征向量λ\lambdaλ可以为0α⃗\vec{\alpha}α不能为0⃗\vec{0}0，且为列向量Aα⃗
人工智能中的线性代数与矩阵论学习秘诀之著名教材 audyxiao001 人工智能怎么学人工智能线性代数矩阵学习方法
线性代数是大学数学中非常核心的基础课程，教材繁多，国内外有许多经典的教材。国内比较有名且使用较为广泛的线性代数中文教材见书籍8。书籍8线性代数中文教材推荐:(a)简明线性代数(丘维声);(b)线性代数(居于马);(c)线性代数(李尚志);(d)线性代数(李炯生等);(e)线性代数五讲(龚昇);(f)线性代数的几何意义(任广千等)北京大学的丘维声教授编写的《简明线性代数》[17]是北京市高等教育精品
数学基础 -- 线性代数之矩阵正定性 sz66cm 线性代数矩阵
线性代数中的正定性正定性在线性代数中主要用于描述矩阵的特性，尤其是在二次型与优化问题中有重要应用。正定矩阵的定义对于一个n×nn\timesnn×n的对称矩阵AAA，其正定性可以通过以下条件来判断：正定矩阵：如果对于任意非零向量x∈Rnx\in\mathbb{R}^nx∈Rn，二次型xTAxx^TAxxTAx都是正的，即：xTAx>0∀x∈Rn,x≠0x^TAx>0\quad\forallx\in
线性代数笔记【二次型】内鬼微电子专业笔记线性代数矩阵
二次型n元二次型：关于n个变量x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn的二次齐次函数KaTeXparseerror:Nosuchenvironment:align*atposition8:\begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲f(x_1,x_2,\cdo…系数全为实数的二次型叫做实二次型，除此之外还有复二次型和复二次型矩阵，但在这里不讨论标准二次型：只含
MIT线性代数模拟IC和AI的Learner 线性代数线性代数机器学习算法
P5置换矩阵置换矩阵是行重新排列的单位矩阵。置换矩阵用P表示，性质：n阶置换矩阵共有n!个P6零空间某个矩阵的零空间中的向量经过该矩阵的变换后都落在0向量，
MIT线性代数模拟IC和AI的Learner 线性代数
本文链接的原创作者为浊酒南街https://blog.csdn.net/weixin_43597208第1讲MIT_线性代数笔记：第01讲行图像和列图像-CSDN博客第2讲MIT_线性代数笔记：第02讲矩阵消元_矩阵firstpivot-CSDN博客第3讲MIT_线性代数笔记：第03讲矩阵的乘法和逆矩阵_矩阵行乘列和列乘行-CSDN博客第4讲MIT_线性代数笔记：第04讲矩阵的LU分解-CSDN博
从零开始学数据分析之——《线性代数》第六章二次型 doubleyue1314 线性代数数据分析数据挖掘算法
6.1二次型与对称矩阵6.1.1二次型及其矩阵定义：n个变量的二次齐次函数称为的一个n元二次型，简称为二次型二次型转换为矩阵表达式：1）平方项的系数直接作为主对角元素2）交叉项的系数除以2放两个对称的相应位置上二次型的矩阵一定是对称的二次型的标准形对应的矩阵是一个对角形矩阵，其秩为主对角线上非零元的个数矩阵表达式写为二次型：1）主对角线元素直接作为平方项的系数2）取主线右上角元素乘以2作为交叉项系
线性代数学习笔记8-4：正定矩阵、二次型的几何意义、配方法与消元法的联系、最小二乘法与半正定矩阵A^T A Insomnia_X 线性代数学习笔记线性代数矩阵学习
正定矩阵Positivedefinitematrice之前说过，正定矩阵是一类特殊的对称矩阵：正定矩阵满足对称矩阵的特性（特征值为实数并且拥有一套正交特征向量、正/负主元的数目等于正/负特征值的数目）另外，正定矩阵还具有更好的性质（所有特征值都为正实数、所有主元都为正实数、左上角的所有任意k阶（10(x≠0)\mathbf{x}^{T}\boldsymbol{A}\mathbf{x}>0\quad
LU分解算法（串行、并行）清榎高性能计算并行程序高性能计算数值分析
一、串行LU分解算法（详细见MIT线性代数）1.LU分解矩阵分解LU分解分解形式L（下三角矩阵）、U（上三角矩阵）目的提高计算效率前提（1）矩阵A为方阵；（2）矩阵可逆（满秩矩阵）；（3）消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换LU分解其实就是将线性方程组：Ax=bAx=bAx=b分解为：LUx=bLUx=bLUx=b这样一来就会有：{Ly=bUx=y\begin{cas
线性代数 --- LU分解（Gauss消元法的矩阵表示）松下J27 Linear Algebra 线性代数矩阵 LU分解高斯消元矩阵运行 gaussian LU
Gauss消元法等价于把系数矩阵A分解成两个三角矩阵L和U的乘法首先，LU分解实际上就是用矩阵的形式来记录的高斯消元的过程。其中，对矩阵A进行高斯消元后的结果为矩阵U，是LU分解后的两个三角矩阵中其中之一。U是一个上三角矩阵，U就是上三角矩阵uppertriangle的首字母的大写。高斯消元的每一步都能用基本消元矩阵E来表示。而所有的E都可以收录在一个矩阵当中，我这里叫他Z矩阵。Z矩阵就是集所有基
Python NumPy 库详解寒秋丶 Python python numpy 开发语言测试开发数据分析数据挖掘软件测试
大家好，在当今数据驱动的世界中，处理大规模数据、进行复杂数值计算是科学研究、工程设计以及数据分析的关键任务之一。在Python生态系统中，NumPy（NumericalPython）库是一款备受推崇的工具，它为我们提供了高效的数组操作、数学函数以及线性代数运算等功能，成为了科学计算和数据处理的利器。一、介绍NumPyNumPy（NumericalPython）是Python中一个开源的数值计算库，
【机器人工具箱Robotics Toolbox开发笔记（一）】Matlab机器人工具箱简介 DRobot 机器人工具箱Robotics Toolbox开发笔记机器人笔记 matlab
MATLAB是一款被广泛应用于科学计算和工程领域的专业软件。它的全称为MatrixLaboratory（矩阵实验室），因为其最基本的数据类型就是矢量与矩阵，所以在处理数学和科学问题时非常方便，可用于线性代数计算、图形和动态仿真的高级技术计算语言和交互式环境以及解决机器人学的相关问题。MATLAB的RoboticsToolbox（简称RTB）是一款在MATLAB环境下进行机器人建模、仿真和控制的工具
线性代数——特征值与特征向量的性质 lwh 98+106 线性代数算法机器学习
（1）设A为方阵，则A与ATA^{T}AT有相同的特征值。此处用到了两个关键性质，一：单位阵的转置为其本身,二：转置并不改变行列式的值。（2）：设n阶方阵A=（aija_{ij}aij）的n个特征值为λ1\lambda_{1}λ1,λ2\lambda_{2}λ2,…λn\lambda_{n}λn,则λ1+λ2+λ3+...λn=a11+a22+a33+...+ann\lambda_{1}+\lam
ASM系列四利用Method 组件动态注入方法逻辑 lijingyao8206 字节码技术 jvm AOP 动态代理 ASM
这篇继续结合例子来深入了解下Method组件动态变更方法字节码的实现。通过前面一篇，知道ClassVisitor 的visitMethod()方法可以返回一个MethodVisitor的实例。那么我们也基本可以知道，同ClassVisitor改变类成员一样，MethodVIsistor如果需要改变方法成员，注入逻辑，也可以
java编程思想 --内部类百合不是茶 java 内部类匿名内部类
内部类;了解外部类并能与之通信内部类写出来的代码更加整洁与优雅 1,内部类的创建内部类是创建在类中的 package com.wj.InsideClass; /* * 内部类的创建 */ public class CreateInsideClass { public CreateInsideClass(
web.xml报错 crabdave web.xml
web.xml报错 The content of element type "web-app" must match "(icon?,display- name?,description?,distributable?,context-param*,filter*,filter-mapping*,listener*,servlet*,s
泛型类的自定义麦田的设计者 java android 泛型
为什么要定义泛型类，当类中要操作的引用数据类型不确定的时候。采用泛型类，完成扩展。例如有一个学生类 Student{ Student(){ System.out.println("I'm a student....."); } } 有一个老师类
CSS清除浮动的4中方法 IT独行者 JavaScript UI css
清除浮动这个问题，做前端的应该再熟悉不过了，咱是个新人，所以还是记个笔记，做个积累，努力学习向大神靠近。CSS清除浮动的方法网上一搜，大概有N多种，用过几种，说下个人感受。 1、结尾处加空div标签 clear:both 1 2 3 4 .div 1 { background : #000080 ; border : 1px s
Cygwin使用windows的jdk 配置方法 _wy_ jdk windows cygwin
1.[vim /etc/profile] JAVA_HOME="/cgydrive/d/Java/jdk1.6.0_43" (windows下jdk路径为D:\Java\jdk1.6.0_43) PATH="$JAVA_HOME/bin:${PATH}" CLAS
linux下安装maven 无量 maven linux 安装
Linux下安装maven(转) 1.首先到Maven官网下载安装文件，目前最新版本为3.0.3，下载文件为 apache-maven-3.0.3-bin.tar.gz，下载可以使用wget命令； 2.进入下载文件夹，找到下载的文件，运行如下命令解压 tar -xvf apache-maven-2.2.1-bin.tar.gz 解压后的文件夹
tomcat的https 配置,syslog-ng配置 aichenglong tomcat http跳转到https syslong-ng配置 syslog配置
1) tomcat配置https,以及http自动跳转到https的配置 1)TOMCAT_HOME目录下生成密钥(keytool是jdk中的命令) keytool -genkey -alias tomcat -keyalg RSA -keypass changeit -storepass changeit
关于领号活动总结 alafqq 活动
关于某彩票活动的总结具体需求，每个用户进活动页面，领取一个号码，1000中的一个；活动要求 1，随机性，一定要有随机性； 2，最少中奖概率，如果注数为3200注，则最多中4注 3，效率问题，（不能每个人来都产生一个随机数，这样效率不高）； 4，支持断电（仍然从下一个开始），重启服务；（存数据库有点大材小用，因此不能存放在数据库）解决方案 1，事先产生随机数1000个，并打
java数据结构冒泡排序的遍历与排序百合不是茶 java
java的冒泡排序是一种简单的排序规则冒泡排序的原理：比较两个相邻的数，首先将最大的排在第一个，第二次比较第二个，此后一样；针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个例题；将int array[]
JS检查输入框输入的是否是数字的一种校验方法 bijian1013 js
如下是JS检查输入框输入的是否是数字的一种校验方法： <form method=post target="_blank"> 数字：<input type="text" name=num onkeypress="checkNum(this.form)"><br> </form>
Test注解的两个属性：expected和timeout bijian1013 java JUnit expected timeout
JUnit4：Test文档中的解释：　　The Test annotation supports two optional parameters. 　　The first, expected, declares that a test method should throw an exception. 　　If it doesn't throw an exception or if it
[Gson二]继承关系的POJO的反序列化 bit1129 POJO
父类 package inheritance.test2; import java.util.Map; public class Model { private String field1; private String field2; private Map<String, String> infoMap
【Spark八十四】Spark零碎知识点记录 bit1129 spark
1. ShuffleMapTask的shuffle数据在什么地方记录到MapOutputTracker中的 ShuffleMapTask的runTask方法负责写数据到shuffle map文件中。当任务执行完成成功，DAGScheduler会收到通知，在DAGScheduler的handleTaskCompletion方法中完成记录到MapOutputTracker中
WAS各种脚本作用大全 ronin47 WAS 脚本
　　　http://www.ibm.com/developerworks/cn/websphere/library/samples/SampleScripts.html 　　　无意中，在WAS官网上发现的各种脚本作用，感觉很有作用，先与各位分享一下　　　获取下载这些示例 jacl 和 Jython 脚本可用于在 WebSphere Application Server 的不同版本中自
java-12.求 1+2+3+..n不能使用乘除法、 for 、 while 、 if 、 else 、 switch 、 case 等关键字以及条件判断语句 bylijinnan switch
借鉴网上的思路，用java实现： public class NoIfWhile { /** * @param args * * find x=1+2+3+....n */ public static void main(String[] args) { int n=10; int re=find(n); System.o
Netty源码学习-ObjectEncoder和ObjectDecoder bylijinnan java netty
Netty中传递对象的思路很直观： Netty中数据的传递是基于ChannelBuffer（也就是byte[]）；那把对象序列化为字节流，就可以在Netty中传递对象了相应的从ChannelBuffer恢复对象，就是反序列化的过程 Netty已经封装好ObjectEncoder和ObjectDecoder 先看ObjectEncoder ObjectEncoder是往外发送
spring 定时任务中cronExpression表达式含义 chicony cronExpression
一个cron表达式有6个必选的元素和一个可选的元素，各个元素之间是以空格分隔的，从左至右，这些元素的含义如下表所示：代表含义是否必须允许的取值范围 &nb
Nutz配置Jndi ctrain JNDI
1、使用JNDI获取指定资源： var ioc = { dao : { type :"org.nutz.dao.impl.NutDao", args : [ {jndi :"jdbc/dataSource"} ] } } 以上方法,仅需要在容器中配置好数据源,注入到NutDao即可.
解决 /bin/sh^M: bad interpreter: No such file or directory daizj shell
在Linux中执行.sh脚本，异常/bin/sh^M: bad interpreter: No such file or directory。分析：这是不同系统编码格式引起的：在windows系统中编辑的.sh文件可能有不可见字符，所以在Linux系统下执行会报以上异常信息。解决： 1）在windows下转换：利用一些编辑器如UltraEdit或EditPlus等工具
[转]for 循环为何可恨？ dcj3sjt126com 程序员读书
Java的闭包(Closure)特征最近成为了一个热门话题。一些精英正在起草一份议案，要在Java将来的版本中加入闭包特征。然而，提议中的闭包语法以及语言上的这种扩充受到了众多Java程序员的猛烈抨击。不久前，出版过数十本编程书籍的大作家Elliotte Rusty Harold发表了对Java中闭包的价值的质疑。尤其是他问道“for 循环为何可恨？”[http://ju
Android实用小技巧 dcj3sjt126com android
1、去掉所有Activity界面的标题栏　　修改AndroidManifest.xml 　　在application 标签中添加android:theme="@android:style/Theme.NoTitleBar" 2、去掉所有Activity界面的TitleBar 和StatusBar 　　修改AndroidManifes
Oracle 复习笔记之序列 eksliang Oracle 序列 sequence Oracle sequence
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2098859 1.序列的作用序列是用于生成唯一、连续序号的对象一般用序列来充当数据库表的主键值 2.创建序列语法如下： create sequence s_emp start with 1 --开始值 increment by 1 --増长值 maxval
有“品”的程序员 gongmeitao 工作
完美程序员的10种品质　　完美程序员的每种品质都有一个范围，这个范围取决于具体的问题和背景。没有能解决所有问题的完美程序员（至少在我们这个星球上），并且对于特定问题，完美程序员应该具有以下品质：　　1. 才智非凡- 能够理解问题、能够用清晰可读的代码翻译并表达想法、善于分析并且逻辑思维能力强（范围：用简单方式解决复杂问题）　　
使用KeleyiSQLHelper类进行分页查询 hvt sql .net C#asp.net hovertree
本文适用于sql server单主键表或者视图进行分页查询，支持多字段排序。KeleyiSQLHelper类的最新代码请到http://hovertree.codeplex.com/SourceControl/latest下载整个解决方案源代码查看。或者直接在线查看类的代码：http://hovertree.codeplex.com/SourceControl/latest#HoverTree.D
SVG 教程（三）圆形，椭圆，直线天梯梦 svg
SVG <circle> SVG 圆形 - <circle> <circle> 标签可用来创建一个圆：下面是SVG代码： <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1"> <circle cx="100" c
链表栈 luyulong java 数据结构
public class Node { private Object object; private Node next; public Node() { this.next = null; this.object = null; } public Object getObject() { return object; } public
基础数据结构和算法十：2-3 search tree sunwinner Algorithm 2-3 search tree
Binary search tree works well for a wide variety of applications, but they have poor worst-case performance. Now we introduce a type of binary search tree where costs are guaranteed to be loga
spring配置定时任务 stunizhengjia spring timer
最近因工作的需要，用到了spring的定时任务的功能,觉得spring还是很智能化的,只需要配置一下配置文件就可以了,在此记录一下，以便以后用到： //------------------------定时任务调用的方法------------------------------ /** * 存储过程定时器 */ publi
ITeye 8月技术图书有奖试读获奖名单公布 ITeye管理员活动
ITeye携手博文视点举办的8月技术图书有奖试读活动已圆满结束，非常感谢广大用户对本次活动的关注与参与。 8月试读活动回顾： http://webmaster.iteye.com/blog/2102830 本次技术图书试读活动的优秀奖获奖名单及相应作品如下（优秀文章有很多，但名额有限，没获奖并不代表不优秀）：《跨终端Web》 gleams：http