环和域的概念

定义()设R为某种元素组成的一个非空集合,若在R内定义两种运算(通常表示为加法运算“+”和乘法运算“·”),R中所有元素满足以下条件:
(1)R关于加法运算“+”构成一个Abel群
(2)R关于乘法运算”·”构成一个半群;
(3)\forall a,b,c \in R,,有a·(b+c)=a·b+a·c, (b+c)·a=b·a+c·a,即分配律成立。
则称R关于“+”和“·”形成一个(Ring),记作(R,+,·),通常在不会产生混淆的情况下省略“十”和“·”,用R表示一个环。

关于环的概念我们需要注意以下几点:
(一)在环的定义中的运算“+”与“·”是抽象运算,不一定是我们通常在整数中定义

(二)当环R中的运算“·”满足交换律时,我们称环R为交换环
(三)当环R中存在元素e,使得对环R中任意一个元素a都有e·a=a·e=a时,我们称。为环R的单位元,并且称环R为含单位元的环。通常在不会产生混淆时,a.b简记为ab;

加法单位元一般记作0,称为零元

乘法单位元一般记作1。同样这里0和1也是抽象元,不同于整数0和整数1。

举个栗子:

在通常意义的加法、乘法运算下,Z(整数集,它包括全体正整数、全体负整数和零),Q,R,C(复数集合)均构成环,且是交换环,加法单位元0即为数0,乘法单位元1即为数1。

 

定义:设R是一个环,对R中任意元素a,如果存在一个最小的正整数n使得na=0,则称环R的特征为n,记为char(R)=n。如果这样的正整数不存在,则称环R的特征为0,记为char(R)=0。

 

还有一些环的类型,罗列如下:

定义:a,b均为环R中两个非零元,如果ab=0,则称a,b为零因子

整环:含有单位元的交换环,若没有零因子,则称之为整环。

Z,Q,R,C均为整环

除环或斜域:如果一个环中的非零元全体在乘法运算“·”下构成群,则称该环位除环(或斜域)

:可交换的除环。

域就是一个具有加法和乘法两种运算的非空集合,该集合关于加法运算构成Abel群,该集合中的非零元全体关于乘法运算也构成Abel群,且乘法对加法满足分配律。

Q,R,C均为域,而Z不是域(非零整数集Z^{}*=Z\{0}对通常意义下的乘法,满足封闭性、结合性、交换律,也有单位元1,但不是每个元素都有逆元,因此Z^{}*对通常意义下的乘法不构成一个群)。

可以对群的概念做个复习

环、除环、域的包含关系

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