博弈基础——极大极小搜索

        计算机博弈（也称机器博弈），是一个挑战无穷、生机勃勃的研究领域，是人工智能领域的重要研究方向，是机器智能、兵棋推演、智能决策系统等人工智能领域的重要科研基础。机器博弈被认为是人工智能领域最具挑战性的研究方向之一。

        

        机器博弈的核心技术是 博弈搜索算法

        零和博弈（zero-sum game），又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈。指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”，双方不存在合作的可能。

        也可以说：自己的幸福是建立在他人的痛苦之上的，二者的大小完全相等，因而双方都想尽一切办法以实现“损人利己”。零和博弈的结果是一方吃掉另一方，一方的所得正是另一方的所失，整个社会的利益并不会因此而增加一分。

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        最单纯的极大极小算法

        局面估价函数：我们给每个局面（state）规定一个估价函数值 f，评价它对于己方的有利程度。胜利的局面的估价函数值为 +oo，而失败的局面的估价函数值为–oo。

        Max 局面：假设这个局面轮到己方走，有多种决策可以选择，其中每种决策都导致一种子局面（sub-state）。由于决策权在我们手中，当然是选择估价函数值 f 最大的子局面，因此该局面的估价函数值等于子局面 f 值的最大值，把这样的局面称为 max 局面。

        Min 局面：假设这个局面轮到对方走，它也有多种决策可以选择，其中每种决策都导致一种子局面（sub-state）。但由于决策权在对方手中，在最坏的情况下，对方当然是选择估价函数值 f 最小的子局面，因此该局面的估价函数值等于子局面 f 值的最小值，把这样的局面称为 max 局面。

        终结局面：胜负已分（假设没有和局）

        假如有如上图的博弈树，设先手为 A ，后手为 B ；则 A 为 max 局面，B 为 min 局面。上图中 A 一开始有 2 种走法（ w2 和 w3 ，w表示结点记号），它走 w2 还是 w3 取决于 w2 和 w3 的估价函数值f()，因为 A 是 max 局面，所以它会取 f(w2)  和 f(w3) 中大的那个，f(x) 怎么求呢？通常是以递归的方式对博弈树进行搜索，我们通常可以设定叶子结点局面的估价值。

        例如上图的搜索过程为 w1 --> w2 --> w4 ，然后回溯到 w1 --> w2 得到 f(w2) = 3 ，接着 w1 --> w2 --> w5 得到 f'(w2) = 1，因为 w2 在第二层，是 min 局面，所以它会选择得到的结果中小的那个，即用 f'(w2) 替代 f(w2) ，即 f(w2) = 1，接着 w1 --> w2 --> w6 得到 f'(w2) = 6 > f(w2) ，直接忽略。因此如果 A 往 w2 走的话将会得到一个估价值为 f(w2) = 1 的局面；类似地，如果往 w3 走的话将会得到一个估价值为 f(w3) = -3 的局面。而 A 是 max 局面，所以它会选择估价值大的走法，f(w2) = 1 > f(w3) = -3，因此它下一步走 w2。

        伪代码表示为：

// player = 1 表示轮到己方， player = 0 表示轮到对方
// cur_node 表示当前局面(结点)
maxmin(player, cur_node)
{
	if 达到终结局面
		return 该局面结点的估价值 f
	end
	if player == 1 // 轮到己方走
		best = -oo // 己方估价值初始化为 -oo
		for 每一种走法 do
			new_node = get_next(cur_node) // 遍历当前局面 cur_node 的所有子局面
			val = maxmin(player^1, new_node); // 把新产生的局面交给对方，对方返回一个该局面的估价值
		    if val > best
				best = val;
			end
		end
		return best;
	else // 轮到对方走
		best = +oo // 对方估价值初始化为 +oo
		for 每一种走法 do
			new_node = get_next(cur_node) // 遍历当前局面 cur_node 的所有子局面
			val = maxmin(player^1, new_node); // 把新产生的局面交给对方，对方返回一个该局面的估价值
		    if val < best
				best = val;
			end
		end
		return best;
	end
}

        但是，实际问题中的所有局面所产生的博弈树一般都是非常庞大，非常庞大的多叉树~，并不能依靠暴力搜索来寻找最佳解法。因此需要用到一些剪枝手段。常用的比较初级的有 alpha-beta 剪枝。

        简单地说就是用两个参数 alpha 和 beta 表示当前局面的父局面的估价函数值 f()。如果当前局面为 min 局面，则需要借助父局面目前已求得的 f() （即 alpha）来判断是否需要继续搜索下去；如果当前局面为 max 局面，则需要借助父局面目前已求得的 f() （即 beta）。

        具体来说就是这样，举个例子：

        如果下图是某问题所产生的一颗博弈树，先手 A 为己方，后手 B 为对方。

        通过前面所述的方法，如果 A 走 w2 则可以得到这样的结果：

        alpha 初始值为 -oo，beta 初始值为 +oo；w1 在得到 f(w1) = 6 的整个过程中， alpha 和 beta 是这样变化的：w1 --> w2 -- > w5 得到 f'(w2) = 6 < f(w2) = +oo，即修改 f(w2) = f'(w2) = 6；同时修改 beta = 6 (因为 w2 的子局面是否需要剪枝依赖于 w2 的估价值 f()，而与 alpha 无关，故不需修改 alpha)。在正常搜索完 w1 --> w2 --> w6 后， w2 层把 beta = 6 返回给上一层 w1 的 alpha，即 w1 层的 alpha = 6，beta = +oo。

        

        接下来在 w3 里搜索就可以体现 alpha-beta 剪枝的效果；A 在选择 w3 走的时候同时把所得的 alpha 和 beta 传递下去，在经过 w1 --> w3 --> w7 得到 f(w3) = 4 (同时使 beta = 4)后，首先进行判断：如果 alpha > beta，则直接返回 beta = 4，没有必要再搜索 w8 和 w9。这是因为这个 alpha 是 w1 在走 w2 这条路时得到的一个估价值 f(w1)，而 w3 是 min 局面，它会选择子局面 w7, w8, w9 中 f() 的值小的作为 f(w3)，所以 w3 在得到 f(w3) = 4 后如果继续搜索 w8, w9，只会得到更小的值；w1 是 max 局面，它的 f() 要修改的条件是找到估价值比它更大的子局面，而 w1 目前已知的估价值 f(w1) = 6 比 f(w3) 要大，所以无论 w3 再怎么继续搜索下去，w1 都不会选 w3 作为下一步，所以没有必要搜索下去。这样就剪掉了 w8, w9 这两个分支，直接跳出 w3 进入 w4 继续搜索。另外一种情形也是类似的道理，这样就实现了有效的剪枝优化。

        伪代码表示为：

// player = 1 表示轮到己方， player = 0 表示轮到对方
// cur_node 表示当前局面(结点)
maxmin(player, cur_node, alpha, beta)
{
	if 达到终结局面
		return 该局面结点的估价值 f
	end
	if player == 1 // 轮到己方走
		for 每一种走法 do
			new_node = get_next(cur_node) // 遍历当前局面 cur_node 的所有子局面
			val = maxmin(player^1, new_node, alpha, beta); // 把新产生的局面交给对方，对方返回一个新局面的估价值
		    if val > alpha
				alpha = val;
			end
			if alpha > beta
				return alpha;
			end
		end
		return alpha;
	else // 轮到对方走
		for 每一种走法 do
			new_node = get_next(cur_node) // 遍历当前局面 cur_node 的所有子局面
			val = maxmin(player^1, new_node, alpha, beta); // 把新产生的局面交给对方，对方返回一个新局面的估价值
		    if val < beta 
				beta = val;
			end
			if alpha > beta
				return beta;
			end
		end
		return beta;
	end
}

练习：

博弈（alpha-beta 剪枝）—— POJ 1568 Find the Winning Move

博弈（alpha-beta 剪枝）POJ —— 1085 Triangle War