概率论的起源

继《线性代数》和《单变量微积分》后，“马同学图解”系列又迎来新的成员 ---- 《概率论与数理统计》，覆盖浙江大学《概率与数理统计》前八章（考研范围），下面是本课程的第一篇文章，欢迎大家试读和购买（微信公众号：马同学高等数学，菜单“图解”中购买）。

1 随机现象

在生活中有些现象是注定的，比如往空中扔一个石头必然会落回地面，这叫作 确定性现象 。

也有不确定的现象，大家都见过骰子吧，下面是常见的六面骰子：

还有各种奇形怪状的骰子：

这些骰子抛掷之后会出现什么点数是不确定的，为了增加不确定性，还出现了骰子塔：

骰子塔大概的使用如下：

虽然充满不确定性，但结果又有迹可循：

• 首先，必然是1、2、3、4、5、6中的一个（假设是六面骰子）

• 其次，反复抛掷的话，会发现每个点数的出现又是有规律的

这种不确定的，但又有规律可言的现象称为 随机现象 。正因为随机现象的存在，才有了概率论这门学科。

2 赌注分配问题的提出

把随机现象当作数学问题处理是在15、16世纪。当时有一个叫作安托万·古保德的法国人，他有一个更出名的头衔，梅累骑士：

有次他和朋友尼古拉斯（没有查到叫什么，估妄取一个，方便后面的讲述）打赌，赌注是64个金币。规矩是扔骰子，先扔出三次“6点”的话就梅累获胜，先扔出三次“4点”的话则尼古拉斯获胜：

玩了几次之后，战况如下，出现了两次“6点”，一次“4点”：

这个时候据说国王突然宣他们觐见，赌博只有中断，自然会产生一个问题：赌资如何分配？

尼古拉斯说，梅累只需要再出现一次“6点”就可获胜，而自己要出现两次“4点”才行，因此梅累应该获得两倍于自己的赌注，即按如下的比例来分配赌注：

梅累可不这么认为，他说自己只要再胜一次就可以通吃，而尼古拉斯要再胜一次才能和他平分秋色，所以他认为应该按照如下比例分配赌注：

这就是数学史上著名的 赌注分配问题 （division of the stakes）。

3 赌注分配问题的解决

梅累解决不了这个问题，就向他的数学家朋友帕斯卡求助，帕斯卡自己也思考了三年，中间还不断写信和费马讨论：

最终得出结论，梅累的想法是正确的。逻辑是这样的，因为至多再扔两次骰子游戏必然会结束（排除掉扔出无效点数的情况），总共会出现如下四种情况：

其中只有一种情况会是尼古拉斯赢，所以分配比例应该是：

4 伪随机

关于骰子的随机性，其实一直都有争论。有人认为如果可以知道扔骰子的所有信息：

那么可以计算出扔骰子的结果，所以这种随机性称为 伪随机 ，导致随机的原因是信息不足、或者计算困难。

5 真随机

在量子力学中的有一个著名的思想实验：

上面动图的意思是，有只猫和一个放射性物质一起放置在不透明的盒子中。这个放射性物质有 的可能性衰变。如果发生衰变的话，猫就会死亡，也就是猫有 的可能性死亡。这个思想实验是由薛定谔提出来的，所以称为 薛定谔的猫 。

在这个思想实验中，不开盖子是真不知道猫的死活，这是因为放射性物质的衰变真的不可预测（关于量子力学的随机性或许还有争论，本课程无意深入讨论），这称为 真随机 。

6 小结

不过到底是真随机还是假随机，并非数学问题，留给物理学家和哲学家吧。不论什么原因导致的随机现象，都可以用本课程《概率论与数理统计》中的结论。

借助一个赌博分赃的问题，概率论走入了数学的舞台。正如对概率论做出了卓越贡献的法国数学家泊松后来所说：“由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派教徒所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的起源。”

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