矩阵快速幂和递推式构造常矩阵总结

前言

今天学长讲了矩阵快速幂，说着是这周最简单的一个知识点，可我听了一遍还是不知道怎么搞的；为什么线性代数不早点学呢，真的不知道学院怎么安排课程的，身为一个计算机学科的学生，竟然到大二下学期才学线代…昨天的背包可能背背模板就完事了，今天的矩阵也可以称作是模板吧，但是应用的时候还是挺难的我感觉，尤其是让你自己分析递推式然后构造矩阵，没有头绪，今晚就想到啥总结啥吧，以后陆续再更新；
先把模板亮出来吧，以简单的斐波那契数列的求法举个栗子：

#include
#include
#include
#include
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e4;
struct node
{
    ll ma[5][5];//用来存放矩阵的数组
};
 int n;
 node mul(node a,node b)//矩阵的乘法
 {
     node ans;
     memset(ans.ma,0,sizeof ans.ma);//每一次都要将矩阵清空为0
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
         for(int k=1;k<=2;k++)
            ans.ma[i][j]=(ans.ma[i][j]+a.ma[i][k]*b.ma[k][j])%mod;//关键步骤，矩阵的相乘法则
    return ans;
 }
 node pow(node a,int b)//矩阵的快速幂
 {
     node ans;
     memset(ans.ma,0,sizeof ans.ma);//每一次都要将矩阵清空为0
     for(int i=1;i<=2;i++) ans.ma[i][i]=1;
     while(b)
     {
         if(b&1) ans=mul(ans,a);
         a=mul(a,a);
         b>>=1;
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     int n;
     while(cin >>n)
     {
         if(n==-1) break;
         node a,ans,b;
         a.ma[1][1]=1,a.ma[1][2]=1;//这个是构造的矩阵
         a.ma[2][1]=1,a.ma[2][2]=0;
//         b.ma[1][1]=1,b.ma[1][2]=1;
//         b.ma[2][1]=0,b.ma[2][2]=1;
         ans=pow(a,n);
         cout <<ans.ma[2][1]<<endl;
     }
     return 0;
 }

1

首先了解一下矩阵的乘法：戳一戳

知道两个矩阵相乘的时候每行每列是怎么样搞得是第一步；
然后要知道普通常数的快速幂模板是啥：戳一戳

2

矩阵快速幂是啥，有啥用？
借助一个例题来说一下：
戳一戳：1113 矩阵快速幂
这就是直接了当的求矩阵的n次幂，直接套用模板就行；

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矩阵快速幂的应用
比如上面举的例子，求斐波那契的第n项，当然可以直接的用递推循环来求第n项的值，甚至去打表，但如果求得是第10^18次方项呢；用循环测评机会气死，那么矩阵快速幂就登场了；

第一步就是找到递推式，然后构造常数矩阵；怎样构造常数矩阵，推荐一篇写的特别好
戳一戳根据递推公式构造系数矩阵用于快速幂
其次最重要的就是判断要把这个常数矩阵进行几次幂运算，这就需要一步一歩看矩阵的递推过程中常数矩阵要被重复几次了；
例如斐波那契：

然后进行递推直到出现最小的竖型矩阵

4

要把An=T^n-1*A1中的A1这个矩阵求出来，然后再与前面的快速幂矩阵相乘，就得出来fn。此时fn如图在[ 1 ] [ 1 ]的位置，有时候不一样，要根据矩阵递推式来判断要求的fn在矩阵的那个位置；