【矩阵论】广义逆矩阵与线性方程组求解思维导图

前言：为什么需要广义逆矩阵？

我们在书中所学的逆矩阵$A^{-1}$必须是非奇异矩阵才行，但现实生活中有大量矩阵不一定是方阵，而就算是方阵也可能是奇异的$(\det A=0)$。因此，为了解决更宽泛的矩阵问题，我们需要将逆矩阵的概念推广到奇异矩阵中，使得奇异矩阵也具有逆矩阵的主要性质，并且在非奇异的时候可以还原到通常的逆矩阵中。

一、广义逆矩阵的概念与性质

二、广义逆矩阵的应用—线性方程组的求解

由上图可知，对于如下线性方程组，若有解，则该方程是相容的，否则是矛盾方程组。
$$Ax=b$$

• 如果方程相容的条件是什么？
  $$\begin{gathered} A{A}^{(1)}b=b \\ A{A}^{+}b=b \end{gathered}$$
• 如果方程相容，其解可能有无数个，我们需要求极小范数解
  $$\begin{array}{rl}& \min \Vert x\Vert \\ & s.tAx=b\end{array}$$
• 如果是矛盾方程组，则解不存在，我们需要求最小二乘解
  $$\begin{array}{rl}& \underset{x\in C^n}{\min }\Vert Ax-b\Vert \end{array}$$
• 一般矛盾方程组的最小二乘解不唯一，因此，我们需要求极小范数最小二乘解
  $$\begin{array}{rl}& \min \Vert x\Vert \\ & s.t\min \Vert Ax-b\Vert \end{array}$$

参考文献

程云鹏, 凯院, 仲. 矩阵论[M]. 西北工业大学出版社, 2006.

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