相似矩阵与二次型

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向量的内积

定义1 向量的内积

$n$维向量

x = (x_1, \cdots, x_n)^T\\

y = (y_1, \cdots, y_n)^T

令

[x,y]=\sum_{i=1}^n{x_iy_i}=x^Ty

称$[x,y]$为向量$x$与$y$的内积

内积的性质

[x,y]=[y,x]\\

[\lambda x,y]=\lambda[x,y]\\

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]\\

当x=0时,[x,x]=0;\ 当x =\not 0时，[x,x]>0

施瓦兹不等式

[x,y]^2\leq[x,x][y,y]

定义2 范数

令

||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}

$||x||$称为向量$x$的范数，又称长度

范数的性质

非负性

当x = \not 0 时,||x||>0;当x=0时,||x||=0

齐次性

||\lambda x||=|\lambda|\ ||x||

定义 夹角

当$x=\not0、y=\not0$时

\theta=\arccos{\frac{[x,y]} {||x||\ ||y||}}

称为$n$维向量$x$与$y$的夹角

正交性

定义 正交向量

当$[x,y]=0$时，称向量$x$与$y$正交

定义 正交向量组

向量组$A:a_1,\cdots, a_n$，如果
$\forall a_i,a_j$在向量组$A$中，都有$a_i,a_j$正交，则称$A$为正交向量组

定理

若$n$维向量$a_1,\cdots,a_r$两两正交，则$a_1,\cdots,a_r$线性无关

定义 标准正交基

$n$维向量$e_1,\cdots,e_r$是向量空间$V(V \subseteq \R ^n)$的一个基，如果$e_1,\cdots,e_r$两两正交，且都是单位向量，则称$e_1,\cdots,e_r$是$V$的一个标准正交基

标准正交化

$a_1,\cdots,a_r$是$V$的一个基

令

b_k=a_k-\sum_{j=1}^k{\frac{[b_j,a_i]} {[b_j,b_j]}b_j}\ \ k=1,\cdots,r
\tag{1.1}

e_k=\frac{b_k} {||b_k||}\ \ k=1,\cdots,r

则$e_1,\cdots,e_r$就是$V$的一个标准正交基

式(1.1)的过程称为Schmidt正交化

定义 正交矩阵

如果方正$A$满足

A^TA=E\ (即A^{-1}=A^T)

那么称$A$为正交矩阵

定理

矩阵$A$为正交矩阵的充分必要条件是$A$的列向量都是单位向量，且两两正交

也就是说，单位矩阵与标准正交基一一对应

正交矩阵的性质

1. 若$A$为正交矩阵，则$A^{-1}=A^T$也是正交矩阵，且$|A|=\pm1$
2. 若$A$和$B$都是正交矩阵，则$AB$也是正交矩阵

定义 正交变换

若$P$为正交矩阵，则线性变换$y=Px$称为正交变换，且有

||y||=\sqrt{[y,y]}=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TPPx}=\sqrt{x^Tx}=||x||

特征值与特征向量

定义 特征值与特征向量

$n$阶矩阵$A$，如果数$\lambda$和$n$维非零列向量$x$使关系式

Ax=\lambda x \tag{1.2}

成立，那么$\lambda $称为$A$的特征值，$x$称为$A$的特征向量

式(1.2)还可以写做

(A-\lambda E)x=0

其有非零解的充分必要条件为

|A-\lambda E|=0

称其为特征方程

记

f(\lambda)=|A-\lambda E|

则称$f(\lambda)$为$A$的特征多项式

显然在复数范围内，特征方程有$n$个解（重根按重数算），因此$A$在复数范围内有$n$个特征值

特征值的性质

\sum_{i=1}^n{\lambda_i}=tr(A)\\

\prod_{i=1}^n{\lambda_i}=|A|

由此还可以得到一个A可逆的充分必要条件为n个特征值不全为0

对角矩阵$diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$

若$\lambda$是$A$的特征值，则$\varphi(\lambda)+a_{-1}\lambda^{-1}$是$\varphi(A)+a_{-1}A^{-1}$的特征值

其中

\varphi(\lambda)=\sum_{i=0}^n{a_i\lambda^i}\\

\varphi(A)=\sum_{i=0}^n{a_iA^i}\\

这里我当然可以将$-1$次也包括在$\varphi$中
但是为了保持$\varphi$表示多项式函数这一特点，没有合并进去

定理

如果方阵$A$的$m$个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_m$各不相等，其对应的特征向量$p_1,\cdots,p_m$线性无关

定理

对应于不同特征值的线性无关的特征向量组，合并起来仍是线性无关的。

相似矩阵

定义 相似矩阵与可对角化

设$A、B$都是$n$阶矩阵，若有可逆矩阵$P$，使

P^{-1}AP=B

则称$B$是$A$的相似矩阵，或说$A$与$B$相似，对$A$进行运算$P^{-1}AP$称为对$A$进行相似变换，$P$称为把$B$变换到$A$的相似变换矩阵

若$A$与对角矩阵$\Lambda$相似，则称$A$可对角化

相似矩阵的性质

定理

若$n$阶矩阵$A$与$B$相似，则$A$与$B$的特征多项式相同，从而特征值也相同

定理

显然，对于$A$的多项式，有

\varphi(A)=P\varphi(B)P^{-1}

其中

\varphi(A)=\sum_{i=0}^n{a_iA^i}\\

可对角化的条件

$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量

并且其对角相似变换矩阵$P$是这$n$个线性无关的向量构成的向量组所对应的矩阵

推论

如果$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值互不相等，则$A$可对角化

对称矩阵的对角化

对称矩阵的性质

对称矩阵的特征值是实数

1

对称矩阵的两个不相等的特征值对应的特征向量正交

2

对称矩阵一定可以通过正交变换对角化

推论

若$A$为$n$阶对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征方程的$k$重根，则

R(A-\lambda E)=n-k

从而$\lambda$有$k$个线性无关的特征向量

对称矩阵正交对角化的步骤

1. 求出$A$的全部互不相等的特征值$\lambda_1,\cdots ,\lambda_s$，它们的重数依次为$k_1,\cdots,k_s\ (k_1+\cdots+k_s=n)$
2. 对每个$k_i$重特征值$\lambda_i$，求方程$(A-\lambda_iE)x=0$的基础解系，得$k_i$个线性无关的特征向量，再进行标准正交化。因为$k_1+\cdots+k_s=n$，故总共可以得到$n$个两两正交的单位特征向量
3. 用这$n$个向量构成正交矩阵$P$，便有$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$

二次型及其标准型

定义 二次型

含有$n$个$x_1,\cdots,x_n$变量的二次齐次函数

f(x_1,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{n-1}x_{n-1}x_n

称为二次型

当$j>i$时，取$a_{ji}=a_{ij}$，则二次型可简写为

f=\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}x_ix_j}

用矩阵可以表示为

f=x^TAx

其中

x=(x_1,\cdots,x_n)^T

A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ 
\end{pmatrix}

显然$A$是一个对称矩阵

称$A$为二次型$f$的矩阵，称$f$为对称矩阵$A$的二次型，矩阵$A$的秩称作二次型$f$的秩

二次型的标准型和规范形

形如

f=\sum_{i=1}^n{\lambda_ix_i^2}=x^T\Lambda x

的二次型称为二次型的标准型

此基础上，若

\lambda_i \in \{-1,0,1\}\ i=1,\cdots,n

则称为二次型的规范型

定义 合同

设$A$和$B$时$n$阶矩阵，如有可逆矩阵$C$，使$B=C^TAC$，则称矩阵$A$与矩阵$B$合同

合同的性质

1

若$A$为对称矩阵，$A,B$合同，则$B$也为对称矩阵

二次型的标准化

定理

任给二次型，$f=x^TAx$，总有正交变换$x=Py$使$f$化为标准型

f=\sum_{i=1}^n{\lambda_iy_i^2}=y^T\Lambda y=y^T(P^TAP)y

其中$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$是$A$的特征值

配方法

正定二次型