逆元的几种求法（扩展欧几里得，费马小定理或欧拉定理，特例，打表等）

乘法逆元

对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n)
一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,n)=1，此时逆元唯一存在
逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

下面给出求逆元的几种方法：

1.扩展欧几里得

给定模数m，求a的逆相当于求解ax=1(mod m)
这个方程可以转化为ax-my=1
然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd
检查gcd是否为1
gcd不为1则说明逆元不存在
若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可

PS：这种算法效率较高，常数较小，时间复杂度为O(ln n)

typedef  long long ll;
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
ll inverse(ll a,ll n){
    ll d,x,y;
    extgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}

2.费马小定理

在模为素数p的情况下，有费马小定理
a^(p-1)=1（mod p）
那么a^(p-2)=a^-1(mod p)
也就是说a的逆元为a^(p-2)

而在模不为素数p的情况下，有欧拉定理
a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m)
同理a^-1=a^(phi(m)-1)

因此逆元x便可以套用快速幂求得了x=a^(phi(m)-1)

但是似乎还有个问题？如何判断a是否有逆元呢? 

检验逆元的性质，看求出的幂值x与a相乘是否为1即可

PS:这种算法复杂度为O（log2N）在几次测试中，常数似乎较上种方法大

当p比较大的时候需要用快速幂求解

typedef  long long ll;
ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

当模p不是素数的时候需要用到欧拉定理

a^phi(p) ≡1               (mod p)

a*a^(phi(p)-1)≡1      (mod p)

a^(-1)≡a^(phi(p)-1)  (mod p)

所以aϕ(m)−1为a的逆元
时间复杂度O(n√)即求出单个欧拉函数的值

(当p为素数的时候phi(p)=p-1,则phi(p)-1=p-2可以看出欧拉定理是费马小定理的推广)

PS：这里就贴出欧拉定理的板子，很少会用欧拉定理求逆元

3.特殊情况

一：

当N是质数，a是(N+1)的约数时，a−1=N+1a 
这点也很好理解。当N是质数，0 < a < N时，(a,N)=1，则a肯定存在逆元。 
而解出的N+1a就满足N+1a⋅a≡1(modN)，故它是a的逆元。

在CF 696C，N=1000000007时

2−1=1000000007+12=500000004

3−1=1000000007+13=333333336

求解就灰常方便了…

二：

求逆元一般公式(条件b|a)

ans=a/bmodm=amod(mb)/b

公式证明：

PS:实际上a mod (bm)/b这种的对于所有的都适用，不区分互不互素,而费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素，如果a与m不互素，那就没有逆元，这个时候需要a mod (bm)/b来搞（此时就不是逆元的概念了）。但是当a与m互素的时候，bm可能会很大，不适合套这个一般公式，所以大部分时候还是用逆元来搞

4.逆元打表

有时会遇到这样一种问题，在模质数p下，求1~n逆元 n< p（这里为奇质数）。可以O(n)求出所有逆元，有一个递推式如下

 

                   

 

它的推导过程如下，设，那么

 

       

 

对上式两边同时除，进一步得到

 

       

 

再把和替换掉，最终得到

 

       

 

初始化，这样就可以通过递推法求出1->n模奇素数的所有逆元了。

 

另外有个结论模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

typedef  long long ll;
const int N = 1e5 + 5;
int inv[N];
 
void inverse(int n, int p) {
    inv[1] = 1;
    for (int i=2; i<=n; ++i) {
        inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;
    }
}

例题可以参考http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787